Кольцо из полоски в магнитном поле
6/10Из тонкого жёсткого листа композитного материала вырезали узкую полоску. Электрическое сопротивление полоски \(r\), длина \(L\). Из полоски изготовили кольцо. В первом опыте кольцо поместили в однородное магнитное поле индукции \(B\), так чтобы ось кольца была направлена вдоль поля. Когда через кольцо пропустили электрический ток \(I_{max}\), оно разорвалось.
Во втором опыте ток через кольцо пропускать не стали, однако начали вращать его в том же самом магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной направлению поля. С какой угловой скоростью следует раскрутить кольцо, чтобы оно снова разорвалось?
Масса кольца пренебрежимо мала. Считайте, что кольцо разрывается от некоторого фиксированного усилия, направленного наружу кольца, и что кольцо устойчиво по отношению к другим деформациям. Самоиндукцией кольца пренебречь.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВ первом опыте найдите силу Ампера на единицу длины кольца при токе \(I_{max}\) — это и есть порог разрыва. Во втором опыте сначала найдите ток, который индуцируется при вращении.
Ответ\(\omega=\dfrac{8\pi r I_{max}}{BL^2}\).
РешениеВ первом опыте на каждый малый кусочек \(dl\) кольца действует сила Ампера \(dF=I_{max}B\,dl\). Это и есть условие разрыва.
Во втором опыте магнитный поток через кольцо \(\Phi(t)=B\pi R^2\cos\omega t\), ЭДС индукции \(-d\Phi/dt\) и ток \(I(t)=\dfrac{B\pi R^2\omega\sin\omega t}{r}\). На кусочек \(dl\) действует сила \(dF=I(t)\,B\cos\omega t\,dl=\dfrac{B^2\pi R^2\omega\sin2\omega t}{2r}\,dl\), направленная наружу кольца. Её максимум при \(\sin2\omega t=1\) даёт условие разрыва: \[I_{max}B=\frac{B^2\pi R^2\omega}{2r} \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{2rI_{max}}{\pi R^2B}.\] Учитывая \(L=2\pi R\), получаем \(\omega=\dfrac{8\pi rI_{max}}{BL^2}\).
Похожие задачи
- Стержень на рельсах СПбГУ 2014/15, 11 кл.
- Шарик у дуги провода с током СПбГУ 2014/15, 11 кл.
- Каркас в магнитном поле Ведомственная 2014/15, 11 кл.
- Перемычка на наклонной П-образной рамке Ведомственная 2015/16, 11 кл.
- Две перемычки на рельсах в магнитном поле Физтех 2020/21, 11 кл.
- Проводящая рамка проходит область магнитного поля Физтех 2020/21, 11 кл.