Тележка и вагон после расцепки

Перейдите в систему отсчёта, где до расцепки всё покоилось: там закон сохранения импульса даёт скорости сразу после расцепки. Тормозные пути найдите по закону сохранения энергии.

В системе, где до расцепки всё покоилось, закон сохранения импульса даёт \(Mu_в=mu_т\), откуда \(u_т=5u_в\). Относительная скорость после расцепки \(u=u_в+u_т=6u_в\), значит \(u_в=u/6\), \(u_т=5u/6\). Возвращаясь в систему земли, получаем скорости сразу после расцепки: \(V_в=V+\dfrac{u}{6}\), \(V_т=V-\dfrac{5u}{6}\).

Чтобы тележка догнала вагон, нужно \(V_т>0\), то есть \(V>\dfrac{5u}{6}\).

Тормозные пути (по закону сохранения энергии): \(S_в=\dfrac{V_в^2}{2\mu_1g}\), \(S_т=\dfrac{V_т^2}{2\mu_2g}\). Столкновение неизбежно при \(S_т\ge S_в\), что после преобразований даёт квадратное неравенство \[(\mu_1-\mu_2)V^2-\frac{2uV(5\mu_1+\mu_2)}{6}+\frac{u^2(25\mu_1-\mu_2)}{36}\ge 0 .\] Его корни \(V_{1,2}=u\,\dfrac{5\mu_1+\mu_2\mp6\sqrt{\mu_1\mu_2}}{6(\mu_1-\mu_2)}\); при \(\mu_1>\mu_2\) значение \(V_1\) меньше \(5u/6\), поэтому с учётом \(V>5u/6\) остаётся \(V>V_2\). Случай, когда тележка сталкивается с ещё движущимся вагоном, даёт тот же критерий и относительную скорость \(u\): тормозные пути при этом сравниваются так же.

Если вагон успевает остановиться раньше, тележка врезается в покоящийся вагон, пройдя путь \(S_в\). По закону сохранения энергии \[\frac{m V_т^2}{2}=\frac{m u'^2}{2}+\mu_2 mgS_в, \qquad u'^2=V_т^2-\frac{\mu_2}{\mu_1}\,V_в^2 .\] Это и есть формула для \(u'\) в ответе. Если подкоренное выражение отрицательно, тележка сталкивается с вагоном, когда оба ещё движутся, и относительная скорость равна \(u\) (в этом случае относительное движение — как бросок вверх с начальной скоростью \(u\)).