Задачи › Сила Лоренца, движение частиц в магнитном поле

Излучающая заряженная частица в магнитном поле

  1. Излучающая заряженная частица в магнитном поле

    Физтех 2025/26, 11 кл.
    7/10

    Частице массой \(m\) и зарядом \(q > 0\) в вакуумной камере сообщили кинетическую энергию \(E_0\). Скорость частицы перпендикулярна силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией \(B\). Частица излучает электромагнитные волны. Средняя мощность излучения движущейся с ускорением \(a\) нерелятивистской частицы определяется по формуле Лармора: \[P = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная, \(c\) — скорость света в вакууме. Движение частицы нерелятивистское. За один оборот относительное изменение радиуса кривизны траектории незначительно.

    1. Найдите начальный радиус кривизны траектории частицы \(R_0\).

    2. Считая излучение непрерывным, найдите путь \(L\), пройденный частицей к моменту, когда радиус кривизны её траектории уменьшится в \(3\) раза.

    3. Считая излучение дискретным (испускаются фотоны, каждый с порцией энергии \(h\nu\), где \(h\) — постоянная Планка, \(\nu\) — частота излучения, равная частоте вращения частицы), найдите, на какую минимальную величину \(|\Delta\Phi|\) уменьшится при испускании фотона магнитный поток через поверхность, натянутую на уменьшающийся по размерам виток траектории частицы.

    Считать, что \(\dfrac{q}{2\pi m}Bh \ll E_0\). Ответы выразить через \(m\), \(q\), \(B\), \(E_0\), \(c\), \(h\), \(\varepsilon_0\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Радиус траектории \(R = mV/(qB)\) уменьшается при излучении, поскольку энергия падает: \(E = q^2B^2R^2/(2m)\). Запишите \(dR/dt\) из \(dE/dt = -P\).

    Ответ

    1) \(R_0 = \dfrac{\sqrt{2mE_0}}{qB}\);  3) \(|\Delta\Phi| = \dfrac{h}{q}\).

    Решение

    Начальный радиус: \(\dfrac{mV_0^2}{R_0} = qV_0B\), \(V_0 = \sqrt{2E_0/m}\), откуда \(R_0 = \dfrac{\sqrt{2mE_0}}{qB}\).

    Непрерывное излучение: \(E = \dfrac{q^2B^2R^2}{2m}\), \(\dfrac{dE}{dt} = -P\) с \(a = V^2/R = q^2B^2R/m^2\), получаем \(\dfrac{dR}{dt} = -\gamma R\), где \(\gamma = \dfrac{q^4B^2}{6\pi\varepsilon_0c^3m^3}\). Путь \(L = \dfrac{qB}{m}\displaystyle\int R\,dt = \dfrac{qB}{m\gamma}\left(R_0 - \dfrac{R_0}{3}\right)\).

    Дискретное излучение: фотон уносит энергию \(h\nu = \dfrac{hqB}{2\pi m}\), а поток через виток \(\Phi = \pi B R^2\) меняется на \(\Delta\Phi = 2\pi m\,\Delta E/(q^2B)\). Отсюда \(|\Delta\Phi| = h/q\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх