Задачи › Качение без проскальзывания

Столкновение двух катящихся обручей

  1. Столкновение двух катящихся обручей

    Физтех 2025/26, 11 кл.
    7/10

    Два одинаковых массивных обруча 1 и 2 радиусом \(R = 0{,}5\) м катятся без проскальзывания по горизонтальной шероховатой поверхности со скоростями \(V_1 = 1\text{ м/с}\) и \(V_2 = 0{,}2\text{ м/с}\) в одном направлении (см. рис.). Масса каждого обруча равномерно распределена по его длине. Оказалось, что сразу после столкновения обручей модуль отношения ускорений нижней точки \(A\) и верхней точки \(B\) первого обруча равен \(\sqrt5\). Трением между обручами можно пренебречь. Считать, что время соударения обручей достаточно мало, и за время соударения угловая скорость каждого обруча практически не изменяется. Считать соударение абсолютно упругим. Принять ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\). Обручи до и после столкновения движутся в одной вертикальной плоскости.

    Рисунок

    1. Найдите скорости \(u_1\) и \(u_2\) центров масс каждого обруча сразу после их столкновения. Укажите направления (налево или направо) скоростей.

    2. Найдите коэффициент трения \(\mu\) между обручем и горизонтальной поверхностью.

    3. Найдите установившиеся скорости \(w_1\) и \(w_2\) центров масс каждого обруча после столкновения и прекращения проскальзывания. Укажите направления (налево или направо) скоростей.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    При упругом ударе равных масс скорости обмениваются. Отношение ускорений точек \(A\) и \(B\) после удара даёт связь \(\mu\) и \(V_1\). Скольжение прекращается, когда скорость нижней точки обруча становится равной нулю.

    Ответ

    1) \(u_1 = 0{,}2\text{ м/с}\), направо;  \(u_2 = 1\text{ м/с}\), направо;  2) \(\mu = 0{,}2\);  3) \(w_1 = w_2 = 0{,}6\text{ м/с}\), направо.

    Решение

    При абсолютно упругом ударе равных масс скорости центров масс обменяются, поэтому сразу после столкновения \(u_1 = V_2 = 0{,}2\) м/с и \(u_2 = V_1 = 1\) м/с, оба направо.

    Для обруча 1 нижняя точка \(A\) проскальзывает. Ускорение центра масс \(\mu g\), ускорение точки \(A\) по модулю \(\sqrt{(2\mu g)^2 + (V_1^2/R)^2}\), точки \(B\) равно \(V_1^2/R\). Условие \(|a_A|/|a_B| = \sqrt5\) даёт \(\mu g = V_1^2/R\), откуда \(\mu = \dfrac{V_1^2}{gR} = 0{,}2\).

    Скольжение прекращается, когда скорость нижней точки обруча становится равной нулю. Для обруча 1 это происходит при \(w_1 = \dfrac{V_1 + u_1}{2} = 0{,}6\) м/с, направо. Для обруча 2 аналогично \(w_2 = \dfrac{V_2 + u_2}{2} = 0{,}6\) м/с, направо.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх