Из лунки в поле

При упругом ударе одинаковых шаров скорости после удара перпендикулярны, и треугольник скоростей вписан в окружность с диаметром \(v_0\). Дальность полёта пропорциональна произведению \(v_xv_y\) — это площадь, которую удобно максимизировать геометрически.

1. Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии при соударении:

\[\begin{cases} m\vec v_0 = m\vec v_1 + m\vec v_2 & \text{ЗСИ}\\[4pt] \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{mv_2^2}{2} & \text{ЗСЭ} \end{cases}\] Возведем ЗСИ в квадрат получим: \[v_0^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\vec v_1\cdot\vec v_2.\] С учетом ЗСЭ получим \[2\vec v_1\cdot\vec v_2 \implies \vec v_1 \perp \vec v_2.\]

Поскольку \(v_1^2 + v_2^2 = v_0^2\) и \(\vec v_0 = \vec v_1 + \vec v_2\), то треугольник скоростей является прямоугольным и вписан окружность с диаметром \(v_0\).

Введём в точке старта систему координат \(yOx\), где ось \(y\) направлена вертикально вверх, а ось \(x\) направлена горизонтально. Далее под \(v_{x(i)}\) и \(v_{y(i)}\) подразумеваются соответственно модули горизонтальной и вертикальной составляющих компонент скоростей \(i\)-го шарика сразу после удара. Отметим, что \(v_{x(1)} = v_{x(2)} = v_x\).

Найдём дальность полета \(i\)-го шарика: \[t_i = \frac{2v_{y(i)}}{g}, \quad l_i = v_xt_i \implies l_i = \frac{2v_xv_{y(i)}}{g}.\] Для расстояния между точками падения шариков имеем: \[l = l_1 + l_2 = \frac{2v_x\left(v_{y(1)} + v_{y(2)}\right)}{g} = \frac{2v_0v_x}{g}.\] Таким образом, расстояние между точками падения максимально при максимальном значении \(v_x\), равном радиусу окружности или \(v_0/2\). Таким образом, ответ на первый вопрос: \[l_\text{max} = \frac{v_0^2}{g}.\]

2. Максимальная дальность полета одного из шариков соответствует максимальному значению произведения \(v_xv_{y(i)}\), следовательно будет одинаковой для обоих шариков. Произведение \(v_xv_y\) геометрически представляет собой площадь прямоугольника со сторонами \(v_x\) и \(v_y\). В свою очередь, данная площадь равна площади равнобедренного треугольника с равными сторонами \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) и основанием \(2v_x\). Этот треугольник вписан в окружность радиусом \(v_0/2\). Максимум площади треугольника, вписанного в окружность радиусом \(R\), достигается в случае равностороннего треугольника и равен:

\[S = \frac{3\sqrt3R^2}{4} \implies (v_xv_y)_\text{max} = \frac{3\sqrt3v_0^2}{16},\] откуда: \[l_{i(\text{max})} = \frac{3\sqrt3v_0^2}{8g}.\]