Плита-треугольник на плечах рабочих

Выпишите условие равновесия моментов относительно оси, проходящей через две вершины плиты (через двух рабочих). Положение центра тяжести треугольника известно из геометрии.

Рассмотрим условие равновесия плиты. Чтобы удержать плиту, рабочие должны действовать на неё вертикальными силами. Силы, действующие на плиту, показаны на рисунке (вид плиты сверху): \(\vec F_1\) — в вершине прямого угла, \(\vec F_2\) — в вершине меньшего острого угла, \(\vec F_3\) — в вершине большего острого угла; сила тяжести приложена к центру тяжести плиты.

Поскольку плита находится в равновесии, сумма сил и сумма моментов сил равны нулю, причём условие моментов выполнено относительно любой оси. Рассмотрим ось, проходящую через короткий катет плиты. Моменты сил \(F_1\) и \(F_3\) относительно этой оси равны нулю, плечо силы \(F_2\) равно длине длинного катета \(AB\). Плечо силы тяжести равно \(OD\), где \(O\) — центр тяжести плиты. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан, которая делит медиану \(BC\) в отношении \(BC : OC = 3 : 1\). Из подобия треугольников \(ABC\) и \(DOC\) имеем \(\dfrac{AB}{OD} = \dfrac{BC}{OC} = 3\), то есть \(OD = \dfrac{1}{3}AB\).

Условие моментов относительно этой оси даёт \[F_2\cdot AB = mg\cdot\frac{1}{3}AB ,\] откуда \(F_2 = \dfrac{1}{3}mg\). Повторяя рассуждения для осей, проходящих через другие стороны плиты, получаем \(F_1 = F_3 = \dfrac{1}{3}mg\).

Итак, на каждого рабочего приходится одинаковая часть веса плиты, \(\dfrac{1}{3}mg\). Это утверждение сохраняется для плиты в форме любого треугольника, в том числе для прямоугольного с любым соотношением катетов.