Две пружины и постоянная скорость конца

Для последовательно соединённых пружин сила упругости в них одинакова. Найдите общую жёсткость комбинированной пружины, а затем удлинение каждой из пружин как функцию времени.

Так как конец пружины движется равномерно, внешняя сила в любой момент времени равна силе упругости комбинированной пружины. При последовательном соединении пружин комбинированная пружина подчиняется закону Гука, а её коэффициент жёсткости определяется формулой \[\frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad\Rightarrow\quad k_{\text{общ}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = \frac{3}{5}\,k ,\] где \(k_1 = \dfrac{3k}{2}\) и \(k_2 = k\) — жёсткости пружин-частей. Поэтому в любой момент времени \[F(t) = k_{\text{общ}}\, x = \frac{3}{5}\,k x ,\] где \(x\) — удлинение комбинированной пружины, равное перемещению её свободного конца. Поскольку конец движется с постоянной скоростью, \(x = vt\), и \[F(t) = \frac{3}{5}\,k v t .\]

Найдём теперь скорость точки соединения пружин. Сила упругости в обеих пружинах одинакова и равна \(F(t)\). Удлинение пружины у стены, равное перемещению точки А, равно \[x_A = \frac{F(t)}{3k/2} = \frac{3}{5}\cdot\frac{kvt}{(3/2)k} = \frac{2}{5}\,vt .\] Отсюда точка соединения пружин движется с постоянной скоростью \(v_A = \dfrac{2}{5}\,v\), то есть составляет \(\dfrac{2}{5}\) от скорости конца комбинированной пружины.