Шарики пролетают сквозь сетку

Шарик проходит, если его центр лежит дальше \(2a\) от каждой проволоки. Найдите область внутри ячейки, в которую должен попасть центр шарика, и сравните её площадь с площадью ячейки.

Так как радиус трубы много больше размеров ячейки, число ячеек, граничащих со стенками трубы, мало по сравнению с числом внутренних прямоугольных ячеек. Поэтому можно считать, что все ячейки сетки прямоугольные с размером \(8a \times 12a\).

Через сетку пройдут те шарики, центры которых пролетают дальше от проволочек, чем на расстоянии \(2a\). То есть те шарики, центры которых попадают в прямоугольник внутри ячейки размером \(8a \times 4a\) (см. рисунок). Его площадь \(32a^2\), площадь ячейки сетки \(96a^2\), а шарики распределены по пучку равномерно, поэтому доля шариков, пролетающих через каждую ячейку, \[\frac{32a^2}{96a^2} = \frac{1}{3} .\] Следовательно, через сетку в трубе пролетит одна треть падающего потока шариков.