Остеклованное радиоактивное топливо

В тепловом равновесии поток тепла через цилиндрическую поверхность радиуса \(x\) равен энерговыделению внутри неё. Градиент температуры найдите по закону Фурье для тонкого слоя и просуммируйте по слоям.

Рассмотрим поток тепла через цилиндрическую поверхность радиуса \(x\) внутри цилиндра из отработанного топлива. В условиях теплового равновесия количество теплоты, проходящее через эту поверхность в единицу времени, равно количеству теплоты, выделяемому внутри цилиндра, ограниченного этой поверхностью. Всего в цилиндре длиной \(l\) выделяется в единицу времени \(Q = q_l l\), а теплота выделяется равномерно по объёму, поэтому внутри цилиндра радиуса \(x\) выделяется \[Q(x) = q_l\, l\,\frac{x^2}{R^2} .\]

С другой стороны, по закону Фурье на тонком цилиндрическом слое толщиной \(\Delta x\) около поверхности радиуса \(x\) должна быть разность температур \(\Delta T\) между внутренней и внешней поверхностями слоя: \[Q(x) = \lambda\,\frac{\Delta T}{\Delta x}\,S = \lambda\,\frac{\Delta T}{\Delta x}\,2\pi x l ,\] откуда \[\Delta T = \frac{q_l}{2\pi\lambda R^2}\, x\,\Delta x .\] Аналогичные формулы можно записать для всех тонких слоёв, на которые мысленно разбит цилиндр. Сложив их, получаем разность температур между центром цилиндра и его поверхностью: \[T_{\text{центр}} - T_{\text{пов}} = \frac{q_l}{2\pi\lambda R^2}\sum_n x_n\,\Delta x_n = \frac{q_l}{2\pi\lambda R^2}\cdot\frac{R^2}{2} = \frac{q_l}{4\pi\lambda} .\] Подставляя \(q_l = 10^3\) Вт/м и \(\lambda = 3\) Вт/(м\(\cdot\)К), находим \(\Delta T \approx 26\ ^\circ\text{C}\). Обратим внимание, что разность температур между осью цилиндра и его поверхностью не зависит от его радиуса.