Диск в трубе и обруч

Длины дуг, по которым диск и обруч касаются трубы, одинаковы. Учтите, что диск и обруч поворачиваются не только вокруг своих осей, но и вместе с движением центров.

Пусть в некоторый момент диск и обруч занимают самое нижнее положение в трубе. Отметим на диске вертикальный радиус, а также точку обруча, касающуюся в этот момент трубы (точка А). Через малый интервал времени \(\Delta t\) диск прокатится по трубе и повернёт обруч. Точка касания диска, обруча и трубы сместится в новое положение (точка B), и углы поворота тел связаны с углом \(\Delta\varphi\), на который повернулся центр диска.

Из-за отсутствия проскальзывания длины дуг по трубе, диску и обручу равны: \(BA = R\,\Delta\varphi\). Поэтому диск повернётся вокруг своего центра на угол \(\dfrac{R}{r}\Delta\varphi\), а с учётом поворота самого центра диска — на угол \[\Delta\theta_{\text{д}} = \left(\frac{R}{r} - 1\right)\Delta\varphi = \frac{R-r}{r}\,\Delta\varphi ,\] а обруч — на угол \[\Delta\theta_{\text{о}} = \left(\frac{R}{2r} - 1\right)\Delta\varphi = \frac{R-2r}{2r}\,\Delta\varphi .\] Центр диска движется по дуге радиуса \(R - r\) со скоростью \(v\), поэтому \(v\,\Delta t = (R-r)\,\Delta\varphi\), то есть \(\Omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \dfrac{v}{R-r}\). Отсюда угловые скорости диска и обруча \[\omega_{\text{д}} = \frac{R-r}{r}\,\Omega = \frac{v}{r}, \qquad \omega_{\text{о}} = \frac{R-2r}{2r}\,\Omega = \frac{(R-2r)\,v}{2r\,(R-r)} .\]