Спица

На систему «два груза и нить» действуют только три силы, и их линии действия пересекаются в одной точке; реакция полуокружности направлена к её центру. Во втором пункте полная сила реакции на колечко направлена вдоль нити и может отклоняться от нормали не больше чем на угол трения.

Метод 1. Рассмотрим систему, состоящую из двух грузов и нити. На неё действуют три силы: сила тяжести \(3m\vec g\), реакция опоры \(\vec N_1\) со стороны вертикального участка и сила реакции \(\vec N_2\) со стороны полуокружности. Линии действия сил \(\vec N_1\) и \(3m\vec g\) пересекаются в точке \(O\). Следовательно, по теореме о трёх непараллельных силах, линия действия силы \(\vec N_2\) также проходит через точку \(O\) (см. рисунок 1).

Сила \(\vec N_2\) перпендикулярна касательной к окружности, поэтому направлена к её центру. Таким образом, центр полуокружности лежит на прямой, проходящей через точку приложения силы \(\vec N_2\) и точку \(O\).

Проведём через точку, соответствующую положению груза массой \(2m\), касательную к окружности (перпендикуляр к \(\vec N_2\)). Обозначим через \(B\) точку пересечения этой касательной с вертикальным участком проволоки (см. рисунок 2).

Полученная точка \(B\) равноудалена от \(2m\) и от точки излома проволоки \(A\). С помощью циркуля или линейки отложим отрезок \(AB\) вверх, восстановив точку \(A\). Затем пересечём перпендикуляр к касательной, проведённой через точку \(2m\), а также горизонтальную линию, проходящую через точку \(A\) (точку соединения участков проволоки), и получим центр полуокружности. Это позволяет восстановить положение всей полуокружности.

Метод 2. После теоремы о трёх силах можно не строить центр окружности геометрически, а записать подобие: \[\frac{R - x}{R + y} = \frac{z}{y}.\]

Численные значения длин отрезков \(x\), \(y\) и \(z\) находятся из рисунка: \(x = 3\text{ см}\), \(y = 3\sqrt5/2\text{ см}\), \(z = 1{,}5\text{ см}\). Откуда: \[R = \frac{y(x+z)}{y-z}.\]

Метод 3. Расставим силы и введём систему координат, как показано на рисунке 4. В ней координаты грузов \(m\) и \(2m\), определяемые по масштабу, соответственно равны \((0;\,-y_1) = (0;\,-3\text{ см})\) и \((x_2;\,0) = (4{,}5\text{ см};\,0)\). Обозначим через \(\alpha\) угол между нитью и вертикалью, а через \(\varphi\) — угол между силой \(\vec N_2\) и вертикалью.

Запишем условия равновесия для груза массы \(m\): \[\vec N_1 + \vec T + m\vec g = 0, \tag{1}\] и для всей системы: \[\vec N_1 + \vec N_2 + 3m\vec g = 0. \tag{2}\] Из соответствующих треугольников сил (см. рисунок 5) получаем: \[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{3}.\]

С другой стороны, \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{x_2}{y_1} \;\Rightarrow\; \operatorname{tg}\varphi = \frac{x_2}{3y_1} = \frac{4{,}5}{9} = 0{,}5.\] Следовательно, \[\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt5}.\] Из геометрии окружности: \[x_2 = R(1 - \sin\varphi),\] откуда: \[R = \frac{4{,}5}{1 - \frac{1}{\sqrt5}} \approx 8{,}1\text{ см},\] а координаты центра окружности: \[(R;\, R\cos\varphi) \approx (8{,}1\text{ см};\, 7{,}3\text{ см}).\]

Пункт 2. Сила полной реакции опоры \(\vec Q\), действующая на кольцо, полностью компенсирует силу натяжения \(\vec T\). При этом \(\vec Q\) составляет угол \(\beta\) с силой нормальной реакции опоры \(\vec N\), направленной в центр окружности (см. рисунок 6). Тогда условие равновесия с учётом трения имеет вид:

\[\beta \leqslant \beta_{cr}, \quad \beta_{cr} = \operatorname{tg}\mu.\]

Обозначим положение груза \(m\) точкой \(L\), кольца — \(D\). По теореме косинусов для треугольника \(\triangle ODL\): \[OL^2 = R^2 + R^2 + 2R^2\cos\beta.\] С учётом ограничения на угол \(\beta\) получаем: \[2R^2 + 2R^2\cos\beta_{cr} \leqslant OL^2 \leqslant 4R^2.\] По теореме Пифагора: \[OL^2 = R^2 + h^2 \;\Rightarrow\; R^2 + 2R^2\cos\beta_{cr} \leqslant h^2 \leqslant 3R^2.\] Так как \[\cos\beta_{cr} = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}},\] получаем: \[R\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{1+\mu^2}}} \leqslant h \leqslant R\sqrt3.\]