Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Цилиндр с нитью на наклонной плоскости

  1. Цилиндр с нитью на наклонной плоскости

    ИОШ 2021/22, 10 кл.
    6/10

    На однородный цилиндр радиуса \(R\) и массы \(M\) намотана невесомая нить, к концу которой привязано тело массы \(m\). Цилиндр аккуратно кладут на наклонную плоскость, по которой он может катиться без проскальзывания, так, что его образующая перпендикулярна направлению быстрейшего спуска с плоскости (см. рисунок). При каком угле наклона плоскости \(\alpha\) цилиндр будет двигаться вверх по плоскости?

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Рассмотрите моменты сил относительно точки касания цилиндра с плоскостью: момент силы тяжести цилиндра и момент силы натяжения нити.

    Ответ

    \(\sin\alpha \le \dfrac{m}{M+m}\), то есть \(\alpha \le \arcsin\dfrac{m}{M+m}\). Радиус цилиндра на ответ не влияет.

    Решение

    Цилиндр будет подниматься вверх, если момент силы натяжения нити \(T = mg\) относительно точки касания цилиндра с плоскостью не меньше момента силы тяжести цилиндра \(Mg\) относительно той же точки (см. рисунок).

    Рисунок

    Плечо силы тяжести равно \(R\sin\alpha\), плечо силы натяжения равно \(R - R\sin\alpha\), поэтому условие движения вверх \[MgR\sin\alpha \le mg\,(R - R\sin\alpha).\] Отсюда \[\sin\alpha \le \frac{m}{M+m}, \qquad\text{или}\qquad \alpha \le \arcsin\frac{m}{M+m}.\] (Эквивалентно: при подъеме уменьшение потенциальной энергии тела при опускании должно быть не меньше увеличения потенциальной энергии цилиндра.) Радиус цилиндра в ответ не входит.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх