Сваренные стержни и выравнивание температуры

Разбейте стержень на тонкие слои, запишите тепловой баланс и учтите, что масса единицы длины толстого стержня вдвое больше, чем тонкого.

Мысленно разобьём стержень на бесконечно тонкие слои массами \(\Delta m_1\), \(\Delta m_2\), …, каждый из которых имеет одинаковую температуру. Тепловой баланс для стержня дает \[c\,\Delta m_1(T_x - T_1) + c\,\Delta m_2(T_x - T_2) + \ldots = 0,\] где \(T_x\) — установившаяся температура, \(T_1, T_2, \ldots\) — температуры слоев. Масса слоя пропорциональна его длине, \(\Delta m_i = \lambda\,\Delta x_i\), где \(\lambda\) — масса единицы длины тонкого стержня (для толстого она вдвое больше). Поэтому \[m\,T_x = \lambda\left(\Delta x_1T_1+\Delta x_2T_2+\ldots\right) + 4\lambda\left(\Delta x_1'T_1'+\Delta x_2'T_2'+\ldots\right),\] где первая сумма относится к тонкому стержню, вторая — к толстому. Эти суммы равны площадям под графиками зависимости температуры от длины стержня. Для тонкого стержня (длиной \(l\)) температура изменяется от \(T\) до \(\frac{5}{4}T\), для толстого (длиной \(3l\)) — от \(\frac{5}{4}T\) до \(2T\) (см. рисунок).

Площади дают \[\lambda\cdot\frac{9}{8}Tl + 4\lambda\cdot\frac{13}{8}T\cdot 3l = \frac{165}{8}\lambda Tl ,\] а полная масса \(m = \lambda l + 4\lambda\cdot 3l = 13\lambda l\). Отсюда \[T_x = \frac{165}{104}\,T \approx 1{,}58\,T .\] Тот же результат получается из того, что для линейного распределения температуры однородного стержня установившаяся температура равна полусумме температур концов: \(T_{\text{тонк}} = \frac{9}{8}T\), \(T_{\text{толст}} = \frac{13}{8}T\), а масса тонкого стержня в 12 раз меньше толстого, поэтому \(T_x = \dfrac{\frac{9}{8}T + 12\cdot\frac{13}{8}T}{13} = \dfrac{165}{104}T\).