Квадратный плот с точечным грузом

Условие равновесия по силам даёт массу груза, условие равновесия по моментам относительно центра плота — связь угла наклона с \(h/a\). Сила Архимеда приложена к центру тяжести погруженной части плота.

В равновесии сумма сил и сумма моментов сил, действующих на плот (сила тяжести \(Mg = \rho g V\), сила Архимеда \(\rho_0 g V_{\text{п.ч.}}\) и сила со стороны груза \(mg\)), равны нулю. Плот погружен ровно на половину объема, поэтому первое условие равновесия дает \[\rho g V + m g = \rho_0 g\,\frac{V}{2} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{(\rho_0 - 2\rho)\,gV}{2}.\] Условие моментов относительно центра плота: момент силы тяжести равен нулю, момент силы со стороны груза \(mgx\) (\(x\) — расстояние от центра плота до края), а точка приложения силы Архимеда — центр тяжести погруженной треугольной части, лежащий на расстоянии \(x/3\) от центра плота, с плечом \(\frac{1}{3}x\cos 2\varphi\). Поэтому \[m = \frac{\rho_0 V}{6}\cos 2\varphi = \frac{\rho_0 V}{6}\left(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\right).\] Приравнивая два выражения для \(m\), с учетом \(\sin\varphi = \dfrac{h^2}{a^2+h^2}\), \(\cos\varphi = \dfrac{a^2}{a^2+h^2}\) и \(z = h^2/a^2\), получаем \[\frac{1-z}{1+z} = \frac{3(\rho_0-2\rho)}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \frac{h}{a} = \sqrt{\frac{3\rho-\rho_0}{2\rho_0-3\rho}} .\] Так как \(\rho < \rho_0/2\) (без груза плот погружен менее чем наполовину), знаменатель положителен; положительность числителя дает \(\rho > \rho_0/3\). Поэтому плот можно расположить так, как показано на рисунке, только при \(\dfrac{\rho_0}{3} < \rho < \dfrac{\rho_0}{2}\).