Подъёмник

Запишите полное время, которое каждый мальчик тратит от одной встречи до следующей, включая очереди. Учтите, что в каждой встрече оба мальчика находятся в одной точке в один и тот же момент.

Пусть \(T_\text{низ}\) и \(T_\text{верх}\) — времена ожидания в очередях внизу и вверху, \(T_0\) — время подъёма (равное времени спуска). После первой встречи Петя за \(\frac23 T_0\) доехал до вершины, отстоял очередь \(T_\text{верх}\) и спустился до середины за \(\frac12 T_0\). Вася за \(\frac13 T_0\) спустился к подножию, отстоял очередь \(T_\text{низ}\) и поднялся до середины за \(\frac12 T_0\). Встреча посередине означает равенство времён: \[\tfrac23 T_0+T_\text{верх}+\tfrac12 T_0=\tfrac13 T_0+T_\text{низ}+\tfrac12 T_0, \qquad T_\text{низ}-T_\text{верх}=\tfrac13 T_0.\] Пусть после второй встречи (в середине) Петя едет вниз и проходит до следующей встречи долю \(x\) подъёма после подножия, а Вася едет вверх и проходит \(1-x\) по пути вниз. Тогда \[\tfrac12 T_0+T_\text{низ}+xT_0=\tfrac12 T_0+T_\text{верх}+(1-x)T_0,\] откуда \((1-2x)T_0=T_\text{низ}-T_\text{верх}=\tfrac13 T_0\), то есть \(x=\tfrac13\). Третья встреча произойдёт на расстоянии \(\tfrac13\) подъёма от подножия, там же, где и первая.