Остывание конуса

Тепло, которое отдаёт тело, пропорционально площади поверхности, через которую оно уходит, а изменение температуры — теплу, делённому на массу. Что это значит для скорости остывания, если геометрически подобные тела отличаются только размером?

За малое время \(\Delta t\) тело с площадью поверхности \(S\) и массой \(m\) теряет тепло \(\Delta Q=\kappa S(T-T_\text{возд})\Delta t\), и это тепло равно \(c\,m\,\Delta T\). Значит, скорость остывания пропорциональна \(S/m\). Пусть \(S_\text{бок}\) и \(S_\text{осн}\) — боковая поверхность и площадь основания конуса. Стоящий на полу конус теряет тепло только с боковой поверхности, а подвешенный — и с боковой, и с основания: \[\frac{10\text{~с}}{9\text{~с}}=\frac{S_\text{бок}+S_\text{осн}}{S_\text{бок}} \quad\Rightarrow\quad \frac{S_\text{осн}}{S_\text{бок}}=\frac19.\] Меньший конус имеет вдвое меньшую высоту, поэтому его боковая поверхность в 4 раза меньше, а масса в 8 раз меньше. Его скорость остывания в 2 раза больше, чем у целого конуса, и он остынет на \(1\) \(^\circ\)C за \(5\) с.

Правая половинка (усечённый конус) теряет тепло через свою боковую поверхность \(\frac34 S_\text{бок}\) и через верхнее сечение площади \(\frac14 S_\text{осн}=\frac1{36}S_\text{бок}\). Её масса равна \(\frac78 m\). Скорость остывания \[k_2=\frac{\frac34 S_\text{бок}+\frac1{36}S_\text{бок}}{\frac78 m} =\frac89\cdot\frac{S_\text{бок}}{m},\] что в \(\frac89\) раза больше, чем у целого конуса на полу. Поэтому время остывания \(10\text{~с}\cdot\frac98=11{,}3\) с.