Гидростатика

Условие «нижний поршень не сместился относительно сосуда» позволяет записать равновесие нижнего и верхнего поршней через давление воды и силы упругости трёх пружин.

В начальном состоянии давление воды у нижнего поршня равно атмосферному, а сила упругости верхней пружины уравновешивает силу давления воды на верхний поршень. Сосуд с водой уравновешивается силой упругости трёх пружин.

Пусть при подвешивании груза нижний поршень сместился на \(x\) относительно сосуда, а сосуд — на \(y\). Из несжимаемости воды верхний поршень смещается относительно сосуда на \(x S_2/S_1\). Сумма сил упругости трёх пружин увеличивается на \(3ky + kxS_2/S_1 = mg\). Условие равновесия нижнего поршня с грузом и условие равновесия верхнего поршня, после вычитания начального состояния, дают \[-\frac{mgS_1}{S_2} - \rho g\left(x - \frac{xS_2}{S_1}\right)S_1 + k\left(\frac{xS_2}{S_1} + y\right) = 0 .\] Нижний поршень не смещается, поэтому \(x = -y\); подставляя \(mg\) и \(x=-y\), получаем \[k = \frac{\rho g\,(S_1 - S_2)\,S_1 S_2}{3S_1^2 + S_2^2 - 2S_1 S_2}.\]