Задачи › Скорость заполнения, потоки, «пробки»

Подводные кубики

  1. Подводные кубики

    Санкт-Петербургская 2024/25, 7 кл.
    5/10

    Школьник поместил три кубика в высокий стакан с вертикальными стенками, как показано на рисунке слева, и начал с постоянной скоростью заполнять сосуд водой. Через время \(t_1 = 30\) с вода покрыла кубик 2, через время \(t_2 = 68\) с вода поднялась до верха кубика 3 и через время \(t_3 = 146\) с под водой оказался кубик 1. После этого школьник вылил из сосуда воду и расположил кубики как показано на среднем рисунке. Затем он снова стал заполнять сосуд водой с той же постоянной скоростью. Через время \(t_4 = 30\) с вода покрыла кубик 1, через время \(t_5 = 49\) с вода поднялась до верха кубика 3 и через время \(t_6 = 111\) с под водой оказались все кубики. Тогда школьник снова вылил воду, расположил кубики как на рисунке справа и снова стал наливать воду в сосуд. Через время \(t_7 = 76\) с вода поднялась до верхней грани кубика 3. После этого мальчик продолжал наливать воду, но забыл записать время, когда вода поднялась до верха кубиков 2 и 1. Найдите это время.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    \(t = 216\) с от начала третьего заполнения (до верха кубика 2 вода доходит через \(138\) с, до верха кубиков 2 и 1 — через \(216\) с).

    Решение

    Обозначим скорость заливания воды \(v\), площадь сечения сосуда \(S\), стороны кубиков \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Объём воды, заполняющей сосуд, равен \(vt\) и складывается из объёма, свободного от кубиков к данному моменту. Записав объём для каждого из моментов \(t_1,\dots,t_7\) и для искомых моментов, получаем линейные соотношения между временами. Например, из \(vt_7 - vt_5 = a_1^3\) следует \(vt_8 = vt_6 + a_1^3 = vt_6 + vt_7 - vt_5\), т.е. \(t_8 = t_6 + t_7 - t_5 = 138\) с — момент, когда вода поднимается до верха кубика 2. Аналогично \(vt_9 = vt_7 + (vt_6 - vt_5) + (vt_3 - vt_2)\), откуда \(t_9 = t_7 + t_6 + t_3 - t_5 - t_2 = 216\) с — момент, когда вода поднимается до верха кубиков 2 и 1.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх