Задачи › Масса и плотность

Губка Менгера

  1. Губка Менгера

    Санкт-Петербургская 2024/25, 7 кл.
    5/10

    У двух братьев, Петра и Павла, есть большой сплошной куб, плотность которого равна \(\rho_0 = 2025\) кг/м\(^3\). Павел хочет сделать из этого куба модель фрактала, который называется губка Менгера (см. рисунок). Павел сделал первый шаг, прорезал сквозные отверстия через центры граней. Однако Пётр хочет, чтобы кубик оставался целым. Поэтому он залил все отверстия в кубе быстро твердеющим пластиком и, после этого, измерил среднюю плотность куба. Она оказалась равна \(\rho_1 = 1890\) кг/м\(^3\). На следующий день Павел сделал второй шаг, а Пётр снова заполнил все отверстия в кубе пластиком. Определите, какую среднюю плотность имеет модель фрактала после второго шага.

    Губка Менгера строится по принципу, схематически показанному на рисунке. На первом шаге большой куб делится на равные кубики \(3\times3\times3\), подобно кубику Рубика. Затем центральный кубик и кубики в центре каждой из шести граней удаляют. На каждом следующем шаге каждый маленький кубик делят на кубики в 3 раза меньшего размера и удаляют кубики в центре и в центрах граней.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Пусть \(\tilde\rho\) — плотность пластика. Выразите \(\rho_1\) и \(\rho_2\) через \(\rho_0\) и \(\tilde\rho\): оставшаяся доля вещества на каждом шаге умножается на \(\tfrac{20}{27}\).

    Ответ

    \(\rho_2 = 1790\) кг/м\(^3\).

    Решение

    Обозначим плотность пластика \(\tilde\rho\). На первом шаге удаляют \(7\) из \(27\) кубиков, остаётся \(\tfrac{20}{27}\) доли вещества, а пустоты заполнены пластиком: \[\rho_1 = \frac{20}{27}\rho_0 + \left(1 - \frac{20}{27}\right)\tilde\rho .\] На втором шаге каждый из \(20\) кубиков делится на \(27\) и \(7\) из них удаляют, т.е. остаётся доля \(\left(\tfrac{20}{27}\right)^2\) от исходного куба: \[\rho_2 = \left(\frac{20}{27}\right)^2\rho_0 + \left(1 - \left(\frac{20}{27}\right)^2\right)\tilde\rho .\] Исключая \(\tilde\rho\) из двух выражений, получаем \(\rho_2 = \dfrac{47}{27}\rho_1 - \dfrac{20}{27}\rho_0\). Подставляя \(\rho_0\) и \(\rho_1\), находим \(\rho_2 = 1790\) кг/м\(^3\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх