Задачи › Равномерное движение, средняя скорость

Три пловца в бассейне

  1. Три пловца в бассейне

    Курчатов 2022/23, 7 кл.
    4/10

    Три пловца соревнуются в плавании вольным стилем в бассейне с тремя одинаковыми дорожками длиной \(l\). Все они стартуют одновременно с одного края бассейна, проплывают дорожку и возвращаются назад к стартовой точке, двигаясь при этом каждый со своей постоянной скоростью. Этот цикл повторяется всё соревнование. Выяснилось, что когда первый и второй пловец оказались одновременно в стартовой точке в некоторый момент времени \(t_1\), второй пловец возвращался на старт на \(k_1 = 1\) раз больше, чем первый. Когда второй и третий пловец оказались в точке старта в некоторый момент времени \(t_2\), оказалось, что третий пловец возвращался на старт на \(k_2 = 2\) раз больше, чем второй. Найдите отношение времени встречи второго и третьего пловца на стартовой точке \(t_2\) к времени встречи первого и второго пловца на стартовой точке \(t_1\), если известно, что разница между скоростями первого и второго пловца составила 1 км/ч, а второго и третьего — \(1{,}5\) км/ч. Ответ округлите до десятых.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Количество возвращений к старту за время \(t\) равно \(v t/(2l)\) с округлением вниз. Для каждой пары пловцов составьте разность таких равенств для двух моментов.

    Ответ

    \(\dfrac{t_2}{t_1} \approx 1{,}3\).

    Решение

    Пусть к моменту времени \(t_1\) первый пловец возвращался к стартовой точке ровно \(k\) раз. Тогда для него верно, что \[v_1t_1 = k\cdot 2l.\] Для второго пловца при встрече с первым верно, что \[v_2t_1 = 2(k + k_1)l.\] Вычитая первое уравнение из второго, находим, что \[(v_2 - v_1)t_1 = 2lk_1 = 2l.\] Для встречи другой пары пловцов имеем для второго пловца: \(v_2t_2 = k'\cdot 2l\), а для третьего: \(v_3t_2 = 2(k' + k_2)\cdot l\). Вычитая первое уравнение из второго, находим, что \[(v_3 - v_2)t_2 = 2lk_2 = 4l.\] Теперь можно найти искомое отношение \(t_2\) к \(t_1\): \[\frac{t_2}{t_1} = \frac{2(v_2 - v_1)}{v_3 - v_2} \approx 1{,}3.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх