Встреча Саши и Вероники у стадиона

Запишите пути до встречи и после встречи для обоих ребят. Из равенства произведений времён (до и после встречи) найдите время до встречи, а затем отношение расстояний.

Обозначим скорость Саши за \(v_1\), а скорость Вероники за \(v_2\), время Саши до встречи — \(t_1\), Вероники — \(t_2\). Время после встречи до достижения конечного пункта — \(t_1'\) для Саши и \(t_2'\) для Вероники. Путь от института до стадиона обозначим за \(x_1\), от стадиона до общежития — за \(x_2\).

Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники до встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_1t_1, \\ x_2 = v_2t_2. \end{cases}\] Запишем систему уравнений для движения Саши и Вероники после встречи: \[\begin{cases} x_1 = v_2t_2', \\ x_2 = v_1t_1'. \end{cases}\] Подставляя \(x_1\), \(x_2\) из второй системы в первую, получим: \[\begin{cases} v_1t_1 = v_2t_2', \\ v_2t_2 = v_1t_1', \end{cases} \quad\Rightarrow\quad t_1t_2 = t_1't_2'.\] Учитывая, что \(t_1 = t_2\), \(t_1' = 4\) ч, \(t_2' = 1\) ч, получим \(t_1 = t_2 = 2\) ч.

Выражая \(v_1\) из второй системы уравнений и подставляя в первую, получим искомое отношение расстояний: \[x_1 = \frac{x_2}{t_1'}\,t_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_1'} = \frac{1}{2} = 0{,}5.\] Отсюда \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).