Зеркальная полусфера

Найдите луч, попадающий на край чашки и отражающийся в крайнее положение. Сравните его с лучами, падающими ближе к центру и дальше от центра.

Луч, падающий на чашку в центре, отражается строго вверх. Чем дальше от центра падает луч, тем больше угол падения. Луч, который после отражения попадает на край чашки, образует угол \(\alpha\) с нормалью; из прямоугольного треугольника сумма двух непрямых углов равна \(90^\circ\), поэтому \(\alpha=30^\circ\). Лучи, попавшие ближе к центру, отклоняются от вертикали меньше, а луч, падающий чуть дальше, после двух отражений от вертикального края чашки отклоняется в другую сторону и также не даёт края пятна. Более удалённые лучи претерпевают два и более отражений, и каждое из них «ухудшает» отклонение, поэтому именно красный луч (падающий на край под углом \(30^\circ\)) определяет край светового пятна. Из треугольника, заштрихованного на рисунке, \[r-R=(H-R)\operatorname{ctg}\alpha,\] откуда \(r=H\sqrt{3}+R(1-\sqrt{3})\).