Кольцо Всевластья

Обратите задачу во времени: найдите, куда упало бы Кольцо, если бы его отпустили из точки C без начальной скорости, и бросьте его обратно из этой точки.

Энергия сохраняется, потенциальная энергия в точке C фиксирована, поэтому минимальная начальная скорость соответствует минимальной конечной скорости кольца. Обращаем задачу во времени: кольцо, отпущенное из C без начальной скорости, съедет к краю крыши, а затем по параболе упадёт на землю. Если Фродо бросит кольцо строго обратно из точки падения, оно въедет по крыше и окажется в точке C с нулевой скоростью. Это и есть случай наименьшей начальной скорости.

Скорость падения кольца с высоты \(ka+a\sqrt{3}/2\) без начальной скорости: \(V=\sqrt{ga(2k+\sqrt{3})}\). Именно с этой скоростью бросает Фродо.

В момент отрыва от крыши (спуск с высоты \(a\sqrt{3}/2\)) скорость \(u=\sqrt{ga\sqrt{3}}\), её проекции \(u_x=u\cos60^\circ\), \(u_y=u\sin60^\circ\). Движение по параболе: \(x(t)=u_xt\), \(y(t)=ka-u_yt-\dfrac{gt^2}{2}\). Время падения \(T=\dfrac{\sqrt{u_y^2+2gka}-u_y}{g}\), расстояние \[L=u_xT=a\,\frac{\sqrt{9+8k\sqrt{3}}-3}{4}.\] Вертикальная скорость у земли \(V_y^2=u_y^2+2gka=ga\bigl(\tfrac{3\sqrt3}{4}+2k\bigr)\), горизонтальная \(V_x=u_x\), \(V_x^2=\dfrac{ga\sqrt3}{4}\). Тогда \[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{V_y^2}{V_x^2}=3+8k\sqrt{3}, \qquad \alpha=\operatorname{arctg}\sqrt{3+8k\sqrt{3}}.\]