Заяц и волк в центре окружности

При длительной погоне траектория волка становится окружностью с тем же центром; зайцу и волку на полный круг нужно одинаковое время, а скорость волка направлена по касательной к его окружности.

\(L=R\sqrt{1-\dfrac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}}=8{,}4\) м.

Обратим внимание, что по условию задачи модуль скорости волка меньше модуля скорости зайца (\(\upsilon_2<\upsilon_1\)). Траектория волка будет иметь вид спирали, однако с течением времени при \(t\gg2\pi R/\upsilon_1\) возникнет установившийся режим, при котором спиральная траектория волка будет вырождаться в окружность радиуса \(r\). При этом центр окружности радиуса \(r\) совпадает с центром окружности радиуса \(R\) (см. рисунок). В этом установившемся режиме скорость волка \(\vec\upsilon_2\) направлена по касательной к траектории волка, т. е. по касательной к окружности радиуса \(r\).

Таким образом, с течением времени расстояние между волком и зайцем стремится к величине \(L\), которую и требуется найти. В установившемся режиме заяц и волк будут пробегать полный круг за одинаковое время: \[\frac{2\pi R}{\upsilon_1}=\frac{2\pi r}{\upsilon_2}\quad\to\quad r=R\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}.\] Из прямоугольного треугольника на рисунке получим: \(R^2=r^2+L^2\). Подставив полученное ранее выражение для \(r\), находим установившееся расстояние \(L\) между волком и зайцем: \[R^2=R^2\frac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}+L^2\quad\to\quad L=R\sqrt{1-\frac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}}=8{,}4\text{ м}.\] Ответ: \(L=R\sqrt{1-\dfrac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}}=8{,}4\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.