Капля, оторвавшаяся от катящегося колеса

Скорость капли в момент отрыва равна сумме скорости оси колеса и скорости точки обода относительно оси (равной по модулю \(V\) и направленной по касательной). Найдите точку, где вертикальная проекция суммы наибольшая.

\(H_{\max}=\dfrac{V^2(1-\sin\alpha)^2}{2g}=1{,}25\) м.

В момент отрыва скорость капли \(\vec v\) равна скорости \(i\)-й точки обода колеса, от которой произошёл отрыв. Поэтому скорость капли можно представить как векторную сумму скорости \(\vec V\) оси колеса в системе отсчёта, связанной с Землёй, и относительной скорости точки обода \(\vec u_i\) в системе отсчёта, связанной с осью колеса: \[\vec v=\vec V+\vec u_i.\tag{1}\] Поскольку колесо движется без проскальзывания, то \(|\vec u_i|=|\vec V|\) для произвольной точки \(i\). При этом скорость \(\vec u_i\) для каждой точки обода колеса направлена по касательной к ободу (см. рис. 1).

Максимально возможная высота подъёма капли будет достигаться при максимально возможной её вертикальной скорости: \(v_y=(v_y)_{\max}\). Скорость оси колеса \(\vec V\), входящая в формулу (1), одинакова для каждой точки обода. Поэтому \(v_y\) достигает своего максимального значения при \((u_i)_y=(u_y)_{\max}\). Это выполняется для точки \(A\) обода колеса, лежащей на горизонтальном его диаметре (см. рис. 2). В данной точке скорость \(\vec u_A\) сонаправлена с осью \(Y\). Таким образом: \[(v_y)_{\max}=-V\sin\alpha+(u_y)_{\max}=-V\sin\alpha+V=V(1-\sin\alpha).\] Тогда максимально возможная высота подъёма капли: \[H_{\max}=\frac{(v_y)_{\max}^2}{2g}=\frac{V^2(1-\sin\alpha)^2}{2g}=\frac{10^2\cdot\left(1-\frac12\right)^2}{2\cdot10}=1{,}25\text{ м}.\] Ответ: \(H_{\max}=\dfrac{V^2(1-\sin\alpha)^2}{2g}=1{,}25\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.