Проточный водонагреватель с нихромовой спиралью

Приравняйте мощность тока на параллельных спиралях к мощности, идущей на нагрев протекающей воды за секунду, и выразите сопротивление через длину проволоки.

\(L=\dfrac{\pi U^2N^2d^2}{4c\rho\rho_0\alpha(t_2-t_1)}\approx5\) м.

Рассмотрим промежуток времени \(\tau\), за который через водонагреватель проходит вода массы \(\Delta m\). В соответствии с условием задачи будем считать, что всё количество теплоты, выделяемое спиралями водонагревателя, идёт на нагрев воды. Для нагрева воды массы \(\Delta m\) на \(\Delta t=(t_2-t_1)\) необходимо количество теплоты \(Q\), равное \[Q=c\cdot\Delta m\cdot\Delta t=c\cdot\Delta m(t_2-t_1).\] Объём \(\Delta V\) и масса \(\Delta m\) воды, прошедшей через водонагреватель за время \(\tau\), связаны между собой соотношением \(\Delta m=\rho_0\cdot\Delta V\). Тогда объёмный расход воды \(\alpha\) можно представить в виде: \[\alpha=\frac{\Delta V}{\tau}=\frac{\Delta m}{\rho_0\tau}\quad\to\quad\Delta m=\rho_0\alpha\tau.\] В таком случае мощность водонагревателя \(P\) равна \[P=\frac{Q}{\tau}=\frac{c\rho_0\alpha\tau(t_2-t_1)}{\tau}=c\rho_0\alpha(t_2-t_1).\] Мощность \(P\), выделяющуюся на нихромовых спиралях нагревательного элемента, можно посчитать следующим образом: \(P=\dfrac{U^2}{R}\), где \(R\) — общее сопротивление \(N\) спиралей, соединённых параллельно. Длина проволоки, приходящейся на одну спираль, равна \(L/N\). Тогда сопротивление одной такой спирали \(R_0\) равно: \[R_0=\rho\frac{L/N}{\pi(d/2)^2}=\frac{4\rho L}{\pi Nd^2}.\] Таким образом, общее сопротивление \(R\) нагревательного элемента \[R=\frac{R_0}{N}=\frac{4\rho L}{\pi N^2d^2}.\] Мощность водонагревателя в таком случае имеет вид: \[P=\frac{U^2}{R}=\frac{\pi U^2N^2d^2}{4\rho L}.\] Приравнивая полученные выражения для мощности \(P\), получаем: \[\frac{\pi U^2N^2d^2}{4\rho L}=c\rho_0\alpha(t_2-t_1).\] Окончательно для суммарной длины \(L\) нихромовой проволоки, потребовавшейся для изготовления всех \(N\) спиралей водонагревателя, имеем: \[L=\frac{\pi U^2N^2d^2}{4c\rho\rho_0\alpha(t_2-t_1)}\approx5\text{ м}.\] В единицах СИ объёмный расход воды равен \(\alpha=4\) л/мин \(=4\cdot10^{-3}/60\) м\(^3\)/с.

Ответ: \(L=\dfrac{\pi U^2N^2d^2}{4c\rho\rho_0\alpha(t_2-t_1)}\approx5\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.