Ортогональные скорости

Скорость каждой точки катящегося обруча перпендикулярна отрезку, соединяющему её с точкой касания поверхности. Что из этого следует для углов между такими отрезками?

Обозначим через \(C\) точку, в которой обруч касается горизонтальной поверхности. Эта точка является мгновенным центром скоростей. Поскольку векторы \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) ортогональны, отрезки \(C1\) и \(C2\) перпендикулярны. Пусть точка \(O\) "— центр обруча, обозначим \(\angle OC1\) за \(\varphi\), тогда \(\angle OC2 = \dfrac{\pi}{2} - \varphi\). Отсюда имеем соотношение для определения угла \(\varphi\): \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{2\omega R\cos\varphi}{2\omega R\sin\varphi} = \operatorname{ctg}\varphi .\] Произведение \(\omega R\) есть скорость оси обруча \(v_0\), поэтому искомые скорости равны: \[v_1 = 2\omega R\cos\varphi = 2v_0\cos\varphi = 2v_0\,\frac{\operatorname{ctg}\varphi}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}} = v_0\sqrt3, \qquad v_2 = v_0 .\] Вектор относительной скорости \(\vec v_{21}\) равен разности векторов \(\vec v_2\) и \(\vec v_1\). Поскольку эти два вектора ортогональны, абсолютная величина относительной скорости находится по теореме Пифагора: \(v_{21} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = 2v_0\).