Машины между А и В

Сумма путей, пройденных машинами между соседними встречами, равна удвоенному расстоянию АВ. Что можно сказать о времени до первой встречи по сравнению с временем до третьей?

Очевидно, что сумма расстояний, пройденных машинами от момента их выхода из «своих» городов до первой встречи, равна расстоянию между городами. До второй встречи каждая машина успеет доехать до своего пункта назначения, развернуться и доехать до второй встречи с другой машиной. Поэтому сумма расстояний, пройденных машинами от первой встречи до второй, равна удвоенному расстоянию между городами, т.е. она вдвое больше суммы расстояний, пройденных машинами от выхода из своих городов до первой встречи. От второй встречи до третьей машины в сумме проходят также удвоенное расстояние между городами. И т.д. А поскольку машины движутся с постоянными скоростями, то для времён справедливы те же соотношения: время от первой встречи до второй вдвое больше времени от выхода до первой встречи. Время от второй встречи до третьей равно времени от первой встречи до второй. И т.д. Это справедливо, пока во время встречи они движутся навстречу друг другу. Поскольку скорости машин разные, наступит такой момент, когда во время какой-то по номеру встречи более быстрая машина будет догонять вторую, двигаясь с ней в одном направлении. В этом случае время, прошедшее от предыдущей встречи до данной, будет меньше предыдущих времён встречи.

Из приведённых рассуждений следует, что время \(t_{0\text{–}3} = t\), прошедшее от выхода машин из «своих» городов до третьей встречи, впятеро больше времени \(t_{0\text{–}1}\), прошедшего от выхода машин до первой встречи. Поэтому время до первой встречи равно \[t_{0\text{–}1} = \frac{t}{5} = 40~\text{минут}.\] Поскольку до третьей встречи машины в сумме прошли расстояние \(5S\), то вторая машина прошла до третьей встречи расстояние \[S_2 = 5S - S_1 = 215~\text{км}.\] Поскольку первая машина до третьей встречи прошла расстояние \(S_1 = 285\) км, а вторая — \(S_2 = 215\) км за время \(t = 3\) часа 20 минут, скорости машин равны \[v_1 = \frac{S_1}{t} = 86{,}3~\text{км/ч}, \qquad v_2 = \frac{S_2}{t} = 65{,}1~\text{км/ч}.\]