Теплообмен холодного и горячего

Запишите уравнение теплового баланса для момента, когда холодное тело нагрелось до \(70\,^\circ\)C. Подумайте, как меняется скорость теплообмена с разностью температур.

Поскольку холодное тело нагрелось за 2 минуты от температуры \(t_1\) до температуры \(t_x\), то оно получило за это время количество теплоты \[Q_1 = c_1 m_1 (t_x - t_1),\] где \(c_1\) — удельная теплоёмкость вещества более холодного тела. А так как теплообмена с окружающими телами не было, то такое же количество теплоты потеряло более горячее тело, охладившись от температуры \(t_2\) до искомой температуры \(t_2'\). Поэтому \[c_1 m_1 (t_x - t_1) = c_2 m_2 (t_2 - t_2'),\] где \(c_2\) — теплоёмкость вещества горячего тела. Отсюда получаем \[t_2' = t_2 - \frac{c_1 m_1}{c_2 m_2}(t_x - t_1) = t_2 - \frac{3}{2}(t_x - t_1) = 125\,^\circ\text{C}.\] Ещё за две минуты более холодное тело не успеет нагреться ещё на \(10\,^\circ\text{C}\). Это связано с тем, что скорость теплообмена между двумя телами зависит от разности температур между ними — чем больше разность температур, тем больше скорость теплообмена. Но за первые две минуты (при разности начальных температур между телами \(t_2 - t_1 = 80\,^\circ\text{C}\)) горячее тело отдало столько теплоты, что холодное тело нагрелось на \(\Delta t = 10\,^\circ\text{C}\). Поэтому при разности температур \(t_x - t_2' = 55\,^\circ\text{C}\) горячее тело отдаст меньшее количество теплоты, потому за те же самые 2 минуты более холодное тело нагреется меньше, чем на \(\Delta t = 10\,^\circ\text{C}\).