Тела в сообщающихся сосудах

Сначала покажите, что уровни воды в сообщающихся сосудах с плавающими телами одинаковы. Затем используйте условие плавания тел и закон Архимеда.

Докажем сначала, что уровни жидкости в сообщающихся сосудах, в которых плавают какие-то тела, будут одинаковыми. Для этого найдём давление около дна сосуда с жидкостью, в которой плавает какое-то тело. При этом жидкость действует на тело силой Архимеда, и (по третьему закону Ньютона) точно такой же силой тело действует на жидкость. Но сила Архимеда равна весу жидкости в объёме тела, находящемся в жидкости. Поэтому если мысленно вытащить тело из жидкости и заполнить тот объём тела, который находился в жидкости, такой же жидкостью, то распределение сил в жидкости не изменится. И, следовательно, давление около дна сосуда с жидкостью, в котором плавает какое-то тело, равно \(\rho g h\), где \(\rho\) — плотность жидкости, \(g\) — ускорение свободного падения, а \(h\) — высота уровня жидкости в сосуде вместе с плавающим телом. А поскольку условием равновесия жидкости в сообщающихся сосудах является равенство давлений жидкости около дна каждого из колен сообщающихся сосудов, то и уровень жидкости в сосудах (вместе с плавающими в них телами) будет одинаковым.

Теперь легко найти и величину подъёма жидкости в сосудах при опускании в них плавающих тел. Для этого нужно найти суммарный объём жидкости, вытесненный телами, и распределить его так по сосудам, чтобы уровень жидкости в них был одинаковым. Условие плавания первого тела даёт \[\rho g V = \rho_0 g V_{\text{выт},1} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{выт},1} = \frac{\rho}{\rho_0} V,\] где \(V_{\text{выт},1}\) — объём жидкости, вытесненный первым телом. Аналогично для второго тела \[m\rho g nV = \rho_0 g V_{\text{выт},2} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{выт},2} = \frac{mn\rho}{\rho_0} V.\] Поэтому тела вытеснят следующий объём жидкости \[V_\text{выт} = V_{\text{выт},1} + V_{\text{выт},2} = \frac{(1+mn)\,\rho V}{\rho_0}.\] Этот объём разместится в сосудах так, что уровни жидкости в них будут одинаковы. Поэтому для высоты \(h\) подъёма уровня жидкости в сосудах по сравнению с начальным положением имеем \[h S_1 + h k S_1 = V_\text{выт}, \quad\Rightarrow\quad h = \frac{(1+mn)\,\rho V}{(1+k)\,\rho_0 S_1}.\]