Два шарика на нити в воде

Для каждого тела запишите условие равновесия сил при установившемся движении. Учтите, что вязкое трение пропорционально скорости, а на тело в воде действует сила Архимеда.

Установившееся движение в вязкой жидкости является равномерным, поэтому суммы сил, действующих на каждое тело, равны нулю. Пусть \(\gamma\) — коэффициент вязкого трения, \(V\) — объём шарика, \(F_A = \rho V g\) — сила Архимеда, \(v_1\) и \(v_2\) — скорости в первом и втором случаях.

В первом случае в воде движется груз массой \(m\): сила вязкого трения \(\gamma v_1\), и \[2mg = T_1, \qquad mg + \gamma v_1 = F_A + T_1 .\] Откуда \[\gamma v_1 = F_A + mg. \qquad (1)\] Во втором случае в воде движется груз массой \(2m\): \[mg = T_2, \qquad 2mg = F_A + T_2 + \gamma v_2 .\] Откуда \[\gamma v_2 = mg - F_A. \qquad (2)\] Разделим (1) на (2): \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{mg + F_A}{mg - F_A} = \frac{3\rho Vg + 2\rho Vg}{3\rho Vg - 2\rho Vg} = 5,\] где учтено, что \(2m = 3\rho V\) (плотность шарика массой \(2m\) в три раза больше плотности воды), а числитель и знаменатель умножены на \(2\).