Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Стержень у стенки на нити

  1. Стержень у стенки на нити

    Курчатов 2023/24, 9 кл.
    5/10

    Тонкий однородный горизонтальный стержень \(AB\) упирается правым концом в вертикальную стенку. К левому концу стержня привязана невесомая нить, закреплённая на стенке в точке \(O\). Угол между нитью и стенкой \(\alpha = 60^\circ\). Найдите минимальное значение коэффициента трения \(\mu\) между правым концом стержня и стенкой, при котором стержень будет оставаться в равновесии. Ответ округлите до сотых.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите равенство нулю моментов сил относительно точек \(O\) и \(A\), затем условие \(F \le \mu N\) для силы трения покоя.

    Ответ

    \(\mu = \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\).

    Решение

    На стержень действуют сила тяжести, приложенная к середине стержня, сила натяжения нити \(\vec T\), сила нормальной реакции \(\vec N\) (вдоль стержня) и сила трения покоя \(\vec F\) (вдоль стенки к точке \(O\)). Обозначим \(L = AB\), \(h = OB = L\,\mathrm{ctg}\,\alpha\).

    Моменты сил относительно точек \(O\) и \(A\): \[N h - m g \frac{L}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad N = \frac{m g}{2}\,\mathrm{tg}\,\alpha, \qquad m g \frac{L}{2} - F L = 0 \quad\Rightarrow\quad F = \frac{m g}{2}.\] Сила трения покоя удовлетворяет условию \(F \le \mu N\): \[\frac{m g}{2} \le \mu\, \frac{m g}{2}\,\mathrm{tg}\,\alpha \quad\Rightarrow\quad \mu \ge \mathrm{ctg}\,\alpha.\] Минимальное значение коэффициента трения: \(\mu = \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 0{,}58\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх