Шарики в сферической выемке

Полная механическая энергия системы сохраняется, так как выемка гладкая и работа сил реакции стенок, в любой момент времени перпендикулярных скоростям шариков, равна нулю. В начальный момент и в момент подъёма на максимальную высоту \(H\) кинетическая энергия системы равна нулю, поэтому её потенциальная энергия в эти моменты одинакова.

Если отсчитывать потенциальную энергию от нижней точки выемки, то начальная потенциальная энергия системы \(E_\text{нач} = mgR\), а её конечная потенциальная энергия \(E_\text{кон} = mgh + MgH\). Закон сохранения энергии приводит к уравнению \(mgR = mgh + MgH\), из которого следует, что \[\frac{M}{m} = \frac{R-h}{H}. \qquad (1)\] При движении гантели по поверхности выемки высота подъёма большого и малого грузов связаны. В прямоугольных треугольниках \(OmA\) и \(OMB\) (по рисунку) с помощью теоремы Пифагора получаем соотношение, из которого следует \(H = 8\) см. Из соотношения (1) отношение масс \(M\) и \(m\) равно 2.

Ответ: \(M/m = 2\).