Поговорим о средних

Средняя величина за период находится через площадь под графиком (для заряда) или через среднее значение квадрата (для теплоты). Для теплоты сравните \(\langle I\rangle_Q^2 R \Delta t\) с суммой вкладов каждого участка.

1.1.1. Пройденный путь численно равен площади под графиком \(v(t)\): \[S = \sum_k v_k\Delta t_k = 2v_0\cdot 2\tau + 4v_0\tau + v_0\tau = 9v_0\tau .\] Следовательно, средняя скорость за всё время движения \[\langle v\rangle = \frac{S}{\Delta t} = \frac{9v_0\tau}{4\tau} = \frac{9}{4}v_0 .\]

1.1.2. Пройденный путь известен, нужно рассчитать время движения: \[\Delta t = \sum_k \frac{l_k}{v_k} = \frac{2l_0}{2v_0} + \frac{l_0}{4v_0} + \frac{l_0}{v_0} = \frac{9}{4}\frac{l_0}{v_0} .\] Средняя скорость \[\langle v\rangle = \frac{S}{\Delta t} = \frac{4l_0}{\dfrac{9}{4}\dfrac{l_0}{v_0}} = \frac{16}{9}v_0 .\] 1.2.1. По второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу действующей силы: \(\Delta p = F\Delta t\). Определение «средней импульсной» силы записывается в виде \[\langle F\rangle_P\cdot 4\tau = 2f_0\cdot 2\tau + 4f_0\tau + f_0\tau = 9f_0\tau ,\] откуда \[\langle F\rangle_P = \frac{9}{4}f_0 .\]

1.2.2. Работа, совершённая постоянной силой, рассчитывается по формуле \[\Delta A = F\,\Delta S .\] Из определения «средней энергетической» силы следует соотношение \[\langle F\rangle_E\cdot(S_1+S_2+S_3) = F_1S_1+F_2S_2+F_3S_3 ,\] где \(S_i\) — путь, пройденный телом на \(i\)-м участке. Для расчёта путей используются законы равноускоренного движения: \(\Delta v = a\Delta t\) и \[\Delta S = v_0\tau + \frac{1}{2}a\tau^2 = \frac{v_0+v}{2}\tau ,\] где \(v\), \(v_0\) — скорости в начале и в конце рассматриваемого интервала, \(a\) — постоянное ускорение на нём. Обозначим \(a_0 = f_0/m\). Тогда ускорение на первом интервале равно \(2a_0\), на втором — \(4a_0\), на третьем — \(a_0\).

Результаты расчётов по участкам:

• \(0\to 2\tau\): ускорение \(2a_0\), начальная скорость \(v_0\), конечная \(v_0+4a_0\tau\), путь \(2v_0\tau+4a_0\tau^2\), работа \(2f_0(2v_0\tau+4a_0\tau^2)\).

• \(2\tau\to 3\tau\): ускорение \(4a_0\), начальная скорость \(v_0+4a_0\tau\), конечная \(v_0+8a_0\tau\), путь \(v_0\tau+6a_0\tau^2\), работа \(4f_0(v_0\tau+6a_0\tau^2)\).

• \(3\tau\to 4\tau\): ускорение \(a_0\), начальная скорость \(v_0+8a_0\tau\), конечная \(v_0+9a_0\tau\), путь \(v_0\tau+\frac{17}{2}a_0\tau^2\), работа \(f_0\left(v_0\tau+\frac{17}{2}a_0\tau^2\right)\).

• Суммарный путь \(4v_0\tau+\frac{37}{2}a_0\tau^2\), суммарная работа \(f_0\left(9v_0\tau+\frac{81}{2}a_0\tau^2\right)\).

1.2.3. При \(v_0 = 0\) из последней формулы получаем \[\langle F\rangle_E = \frac{81}{37}f_0 ,\] что отличается от «средней импульсной» силы.

1.3.1. Заряд, протекающий через резистор при постоянной силе тока \(I\) за промежуток \(\Delta t\), равен \(q = I\Delta t\). По определению средней зарядовой силы тока \[\langle I\rangle_q\cdot 3\tau = I_1\tau + I_2\cdot 2\tau ,\] где \(I_1 = 2U_0/R\), \(I_2 = -U_0/R\) — значения силы тока на участках. Отсюда \[\langle I\rangle_q = \frac{\frac{2U_0}{R}\tau - \frac{U_0}{R}\,2\tau}{3\tau} = 0 .\]

1.3.2. Количество теплоты, выделяющейся в проводнике при протекании постоянного тока, определяется законом Джоуля—Ленца: \(Q = \dfrac{U^2}{R}\Delta t\). Для «средней тепловой» силы тока \[\frac{\langle I\rangle_Q^2}{R}\cdot 3\tau = \frac{(2U_0)^2}{R}\cdot\tau + \frac{(-U_0)^2}{R}\cdot 2\tau = 6\frac{U_0^2}{R}\tau .\] Отсюда \[\langle I\rangle_Q = \sqrt{\frac{6U_0^2\tau}{3R\tau}} = \sqrt{2}\,I_0 .\] Заметим, что «средняя тепловая» сила тока называется «действующим» значением силы тока и широко используется в электротехнике.