Изучение лампочки накаливания
7/10При подготовке к Новому году Федор решил самостоятельно изготовить гирлянду из лампочек накаливания. Чтобы сразу не сжечь все имеющиеся лампочки и чтобы они нормально светились, Федор решил провести экспериментальные исследования характеристик этого нехитрого прибора.
Часть 1. Вольтамперная характеристика лампочки.
Федор переключил мультиметр в режим омметра и измерил сопротивление лампочки при комнатной температуре \(t_0 = 23\,^\circ\text{C}\), оно оказалось равным \(R_{0,л} = 1{,}92\ \text{Ом}\).
Основной характеристикой любого элемента электрической цепи является ВАХ — вольтамперная характеристика, зависимость силы тока от приложенного напряжения. Для её измерения Федор собрал электрическую цепь, показанную на рисунке. Изменяя сопротивление переменного резистора, Федор измерил значения напряжений на лампочке \(U\) и на постоянном резисторе (сопротивление которого \(R_0 = 0{,}62\ \text{Ом}\)) — \(U_0\). Результаты измерений приведены в Таблице 1 Листов ответов.
1.1 Постройте график вольтамперной характеристики лампочки накаливания по результатам измерений Федора.
Результаты необходимых расчётов приведите в свободных столбцах Таблицы 1, укажите формулы, по которым Вы провели расчёт, график постройте на бланке Листов ответов.
Для проверки своих измерений и построений Федор собрал цепь из трёх последовательно соединённых лампочек и подключил к источнику напряжения \(U_1 = 4{,}5\ \text{В}\).
1.2 Чему равна потребляемая мощность \(P_1\) в этой цепи?
После этого Федор соединил эти 3 лампочки параллельно и подключил к тому же источнику напряжения \(U_1 = 4{,}5\ \text{В}\).
1.3 Чему равна потребляемая мощность \(P_2\) в этой цепи?
Для теоретического описания проведённого эксперимента Федор решил использовать следующие приближения: 1) Сопротивление лампочки линейно зависит от её температуры \(t\): \[R = R_0\bigl(1 + \alpha(t - t_0)\bigr) \tag{1}\] Температурный коэффициент сопротивления вольфрама Федор нашёл в справочнике \(\alpha = 5{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{К}^{-1}\). Здесь \(K\) — градус Кельвина. Температура по абсолютной шкале Кельвина связана с температурой по шкале Цельсия простым соотношением \[T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273{,}15\ \text{K} . \tag{2}\] 2) Мощность тепловых потерь лампочки (т. е. количество теплоты, уходящей в воздух в единицу времени) пропорциональна разности температур нити накаливания \(t\) и окружающего воздуха \(t_0\): \[P = \beta\,(t - t_0) \tag{3}\] где \(\beta\) — неизвестный постоянный коэффициент, который Федор решил определить на основании экспериментальных данных.
В рамках этой линейной модели Федор сумел получить явный вид зависимости силы тока через лампочку от напряжения на ней.
1.4 Найдите явный вид зависимости силы тока через лампочку от напряжения на ней \(I(U)\) в рамках линейной модели.
Полученная зависимость оказалась слишком громоздкой и трудно поддающейся анализу. Кроме того, у Федора возникла идея, как можно проверить применимость линейной модели к проведённому эксперименту.
Он сообразил, что можно легко рассчитать на основе результатов измерений мощность, выделяющуюся на лампочке \(P\), и её сопротивление \(R\), и построить соответствующий график \(R(P)\). Федор провёл необходимые расчёты, построил график этой зависимости и — с сожалением отверг линейную модель!
1.5 Найдите явный вид зависимости сопротивления лампочки от выделяющейся на ней мощности \(R(P)\).
1.6 Проведите необходимые численные расчёты и постройте график зависимости \(R(P)\) и кратко поясните, почему Федор отверг линейную модель.
Примечания. Результаты расчётов занесите в Таблицу 2 Листов ответов. Не забудьте подписать столбцы таблицы. Достаточно провести расчёты для половины точек, только выбирайте их разумно. График постройте на соответствующем бланке Листов ответов.
Для дальнейшего анализа Федор, тем не менее, решил оценить максимальную температуру нити накаливания в своём эксперименте.
1.7 Оцените максимальную температуру нити накаливания на основании линейной модели.
Часть 2. Строгая теоретическая модель.
После продолжительных размышлений Федор решил, что основной недостаток линейной модели заключается в выборе механизма тепловых потерь лампочки, который описывается формулой (3). Действительно, нить накала разогревается достаточно сильно, в результате чего она и светится. Следовательно, основным механизмом тепловых потерь является излучение света. Пришлось опять обратиться к справочникам. В результате «рыскания» по Интернету Федор решил использовать следующие данные: 1) Мощность теплового излучения нагретых тел определяется формулой \[P_{\text{изл.}} = A\,T^{n} , \tag{4}\] где \(T\) — абсолютная температура тела, \(A\) — некоторый постоянный коэффициент, \(n\) — целое число. 2) Абсолютная температура \(T\) и электрическое сопротивление вольфрамовой нити в достаточно широком диапазоне температур связаны соотношением \[\frac{T}{T_0} = \left(\frac{R}{R_0}\right)^{\frac{4}{5}} , \tag{5}\] здесь \(R_0\) — сопротивление нити при температуре \(T_0\).
2.1 Проведите необходимые расчёты и постройте график зависимости мощности потерь лампочки от абсолютной температуры \(P(T)\).
Примечания. Не забудьте привести все формулы, которые Вы использовали в ходе расчётов. Результаты расчётов занесите в Таблицу 2 Листов ответов. Достаточно провести расчёты для половины точек, только выбирайте их разумно. Можно построить график зависимости \(P(T)\) в относительных единицах (не забудьте указать каких). График постройте на бланке Листов ответов.
2.2 Используя любой метод (строгого расчёта, подбора, угадывания — но с обоснованием найденного значения) определите показатель степени в формуле (5).
2.3 Найдите максимальную температуру нити накаливания лампочки в этом эксперименте.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля линейной модели связь \(U\) и \(I\) дана законом Ома с учётом \(R = R_0(1+\alpha\Delta t)\) и \(\Delta t\) из закона теплоотдачи. Для строгой модели сравните, как меняются \(P\) и \(R\) с ростом температуры, по степенной зависимости.
Ответ1.1) см. Таблицу 1 и график в решении (значения \(I = U_0/R_0\): 117, 143, 174, 205, 232, 259, 276, 294, 309, 322 мА); 1.2) \(P_1 = 0{,}26\) Вт
1.3) \(P_2 = 4{,}2\) Вт; 1.4) \(I(U)=\dfrac{\sqrt{\left(\frac{U}{R_0}\right)^2+4\frac{\alpha}{\beta R}\frac{U}{R_0}}-1}{2\frac{\alpha}{\beta}U}\); 1.5) \(R(P) = R_0\left(1+\dfrac{\alpha}{\beta}P\right)\); 1.6) зависимость \(R(P)\) нелинейная, линейная модель отвергнута; 1.7) \(t_{\max}\approx 1400\,^\circ\text{C}\); 2.2) \(n = 4\); 2.3) \(t_{\max}\approx 1300\,^\circ\text{C}\) (\(T\approx 1560\) K).
РешениеЧасть 1.
1.1. Для построения графика нужно рассчитать силы токов через лампочку при известных напряжениях по формуле \[I = \frac{U_0}{R_0} .\] Результаты расчётов приведены в Таблице 1 Листов ответов.
1.2. Так как лампочки одинаковые, напряжения на них также будут одинаковыми: \(U_x = U_1/3 = 1{,}5\) В. По графику ВАХ находим, что сила тока (одинаковая для всех лампочек) равна \(I_x = 174\) мА. Следовательно, мощность в этой цепи \[P_1 = U_1 I_x = 0{,}26\ \text{Вт} .\]
1.3. При параллельном соединении напряжение на всех лампочках равно напряжению источника \(U_1 = 4{,}5\) В. По графику ВАХ находим, что сила тока через каждую лампочку равна \(I_y = 310\) мА. Следовательно, мощность цепи \[P_2 = 3U_1I_y = 4{,}2\ \text{Вт} .\]
1.4. Для расчёта ВАХ горячей лампочки используем закон Ома для участка цепи с учётом зависимости сопротивления от температуры: \[I = \frac{U}{R_0\bigl(1+\alpha\Delta t\bigr)} .\] Здесь \(\Delta t = t - t_0\) — разность между температурой нити и комнатной температурой. В этом уравнении не известна разность температур. Для получения системы уравнений воспользуемся законом теплоотдачи \[P = \beta\Delta t ,\] в условиях теплового равновесия мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока, равна мощности теплоты, уходящей в окружающую среду: \(P = UI\). Из этих формул \(\Delta t = UI/\beta\), и, подставляя в закон Ома, \[I = \frac{U}{R_0\left(1 + \frac{\alpha}{\beta}UI\right)} .\] Это квадратное уравнение \[\frac{\alpha}{\beta}UI^2 + I - \frac{U}{R_0} = 0 ,\] физический смысл имеет положительный корень: \[I = \frac{\sqrt{\left(\frac{U}{R_0}\right)^2 + 4\frac{\alpha}{\beta R}\frac{U}{R_0}} - 1}{2\frac{\alpha}{\beta}U} .\]
1.5. Уравнение \(\dfrac{U}{I} = R_0\left(1 + \dfrac{\alpha}{\beta}UI\right)\), где \(U/I = R\) — сопротивление нити, \(UI = P\) — мощность тока через лампочку. Итак, зависимость сопротивления лампочки от выделяющейся мощности имеет линейный характер: \[R = R_0\left(1 + \frac{\alpha}{\beta}P\right) .\]
1.6. По заданным значениям напряжения и силы тока рассчитываем мощность в цепи и сопротивление нити накала по формулам из п. 1.5. Результаты приведены в Таблице 2 и на графике. Расчёты показали, что данная зависимость сильно нелинейна, поэтому линейная модель должна быть отвергнута.
1.7. Для оценки температуры нити можно воспользоваться зависимостью сопротивления от температуры \(R = R_0\bigl(1+\alpha(t-t_0)\bigr)\). Максимальное сопротивление лампочки равно \(R = 15{,}2\) Ом, тогда \[t - t_0 = \frac{R - R_0}{\alpha R_0} ,\] \[t = t_0 + \frac{R-R_0}{\alpha R_0} = 23^\circ + \frac{15{,}2-1{,}9}{5{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}9} \approx 1400\,^\circ\text{C} .\]
Часть 2.
2.1. Для построения графика зависимости мощности потерь от температуры нужно рассчитать значения температур (мощности уже подсчитаны). Для расчёта температур используется зависимость между сопротивлением и температурой, в виде формулы (5), \(\dfrac{T}{T_0} = \left(\dfrac{R}{R_0}\right)^{4/5}\). Так как при повышении температуры вклад излучения становится всё более преобладающим, в качестве «нулевой точки» выбираем значения при \(U = 3{,}22\) В. Результаты приведены в Таблице 2.
2.2. График показывает, что экспериментальные точки очень близко ложатся на кривую, соответствующую \(n = 4\). Таким образом, показатель степени в зависимости мощности излучения от температуры равен \[n = 4 .\]
2.3. Максимальную температуру можно выразить и рассчитать с помощью формулы (5), используя данные для комнатной температуры: \[T = T_0\left(\frac{R}{R_0}\right)^{4/5} = (273+23)\left(\frac{15{,}2}{1{,}9}\right)^{4/5} = 1560\ \text{K} .\] Переходя к шкале Цельсия, получаем \(t_{\max} = T - 273 \approx 1300\,^\circ\text{C}\). Полученный результат незначительно отличается от полученного в рамках линейной модели. Следовательно, основная причина непригодности линейной модели действительно заключается в том, что основной механизм потерь — тепловое излучение нити накаливания.