Блоки и три груза

В горизонтальном направлении система замкнута, поэтому центр масс двух грузов на столе не смещается; добавьте кинематическую связь через подвижный блок и уравнения второго закона Ньютона.

\(v_0=a_0\tau\approx0{,}35\) м/с,  \(v_1=a_1\tau\approx0{,}41\) м/с,  \(v_2=a_2\tau\approx0{,}30\) м/с,  \(\omega=\dfrac{v_1-v_2}{2r}\approx2{,}4\) рад/с (в официальном решении по округлённым ускорениям: 0,35; 0,42; 0,28 м/с и 3,0 рад/с).

Запишем основной закон динамики для каждого их грузов в проекции на вертикальную ось с учетом условий невесомости нити и блоков, а также отсутствия трения в осях блоков:

\[\begin{aligned} m_1 a_1 &= T \\ m_2 a_2 &= T \\ m_0 a_0 &= m_0 g - 2T \end{aligned}\tag{1}\]

Все обозначения стандартные и очевидные. Поскольку трение грузов о плоскость отсутствует, то в горизонтальном направлении система является замкнутой, т.е. положение ее центра масс не может измениться по горизонтали. С учетом этого получаем следующее уравнение

\[m_1 a_1 = m_2 a_2\tag{2}\]

Кроме того, учтем кинематическую связь между ускорениями грузов для подвижного блока

\[a_1 + a_2 = 2 a_0\tag{3}\]

Выразив из (2) - (3) значения \(a_1 = \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} a_0\) ; \(a_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} a_0\) и подставив их в (1) найдем

\[T = \frac { 2 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } a _ { 0 } \; \; ;\]

\[a _ { 0 } = \frac { m _ { 0 } \left( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, \right) } { m _ { 0 } ( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, ) + 4 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } g = 0 { , } 1 6 \, g = 1 { , } 6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \; ;\]

\[a _ { 1 } = \frac { 2 \, m _ { 0 } m _ { 2 } } { m _ { 0 } ( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, ) + 4 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } g = 0 { , } 1 9 \, g = 1 { , } 9 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \, ;\]

\[a _ { 2 } = \frac { 2 \, m _ { 0 } m _ { 1 } } { m _ { 0 } ( \, m _ { 1 } + m _ { 2 } \, ) + 4 \, m _ { 1 } m _ { 2 } } g = 0 { , } 1 3 \, g = 1 { , } 3 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \, .\]

Зная ускорения всех грузов, найдем их скорости через время \(\tau\) после начала движения

\[\upsilon _ { 0 } = a _ { 0 } \cdot \tau = 0 { , } 3 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3 5 \frac{\text{см}}{\text{с}} \, ;\]

\[\upsilon _ { 1 } = a _ { 1 } \cdot \tau = 0 { , } 4 2 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 4 2 \frac{\text{см}}{\text{с}} \, ;\]

\[\upsilon _ { 2 } = a _ { 2 } \cdot \tau = 0 { , } 2 8 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 8 \frac{\text{см}}{\text{с}} \, .\]

Для нахождения угловой скорости \(\omega\) вращения блока 3 заметим, что поскольку веревка нерастяжима, то скорости движения \(\upsilon _ { 1 }\) и \(\upsilon _ { 2 }\) могут быть представлены в виде

\[\begin{array} { l } { { \upsilon _ { 1 } = \upsilon _ { 0 } + \omega \cdot r } } \\ { { \upsilon _ { 2 } = \upsilon _ { 0 } - \omega \cdot r } } \end{array} ,\tag{4}\]

где \(r\) — радиус блока. Из (4) находим

\[\omega = \frac { \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } } { 2 \, r } = 3 { , } 0 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}} \, .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.