Грелка с кристаллизацией

Запишите тепловой баланс за малое время: теплота кристаллизации идёт на нагрев всего содержимого, теплоёмкость которого меняется по мере отвердевания. Для упрощения используйте приближённую формулу из условия.

\(t = t_0+\dfrac{\lambda v}{C_0 l}\tau+\dfrac{\lambda\eta v^2}{2C_0 l^2}\tau^2\);  \(t_{\max}=t_0+\dfrac{\lambda}{C_0}\left(1+\dfrac{\eta}{2}\right)\).

Пусть в некоторый момент времени \(\tau\) длина отвердевшей части равна \(x = v \tau\). За последующий малый промежуток времени \(\Delta \tau\) в ходе кристаллизации выделится количество теплоты

\[\Delta q = \lambda \rho a h \Delta x = \lambda \rho a h v \Delta \tau \, ,\tag{1}\]

где \(\rho\) - плотность вещества в грелке. Эта теплота пойдет на нагревание как жидкой, так и отвердевшей части содержимого грелки на \(\Delta t\) градусов. Поэтому это же количество теплоты можно выразить с помощью известных формул

\[\Delta q = \left( C _ { 0 } \rho a h ( l - x ) + C _ { 0 } ( 1 - \eta ) \rho a h x \right) \Delta t \, .\tag{2}\]

Обратите внимание, что суммарная теплоемкость грелки зависит от соотношения жидкой и отвердевшей части вещества, следовательно, и от времени. Из уравнения теплового баланса

\[\left( C _ { 0 } \rho a h ( l - x ) + C _ { 0 } ( 1 - \eta ) \rho a h x \right) \Delta t = \lambda \rho a h v \Delta \tau\tag{3}\]

следует, что скорость изменения температуры сложным образом зависит от времени (очевидно, что \(x = v \tau\)):

\[\frac { \Delta t } { \Delta \tau } = \frac { \lambda v } { C _ { 0 } ( l - \eta v \tau ) } \, .\tag{4}\]

Для упрощения последнего выражения воспользуемся приближенной формулой, приведенной в условии задачи,

\[\frac{\Delta t}{\Delta \tau} = \frac{\lambda v}{C_0(l - \eta v \tau)} = \frac{\lambda v}{C_0 l \left(1 - \frac{\eta v \tau}{l}\right)} \approx \frac{\lambda v}{C_0 l} \left(1 + \frac{\eta v \tau}{l}\right) = \frac{\lambda v}{C_0 l} + \frac{\lambda v^2 \eta}{C_0 l^2} \tau.\tag{5}\]

Таким образом, скорость изменения температуры линейно зависит от времени. Эта зависимость полностью аналогична зависимости скорости движения при равноускоренном движении. Используя эту математическую аналогию, можем записать закон изменения температуры со временем

\[t = t_0 + \frac{\lambda v}{C_0 l} \tau + \frac{\lambda v^2 \eta}{C_0 l^2} \cdot \frac{\tau^2}{2}.\tag{6}\]

Еще раз отметим, что нелинейная (квадратичная) зависимость температуры от времени связана с изменением теплоемкости системы. Максимальная температура может быть определена из последнего выражения, полагая в нем \(\tau = \frac{l}{v}\),

\[t_{max} = t_0 + \frac{\lambda}{C_0} \left(1 + \frac{\eta}{2}\right).\tag{7}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.