Сила сопротивления среды

Установившаяся скорость находится из равенства силы и сопротивления, а время установления — как отношение этой скорости к начальному ускорению. Для модели с частицами считайте импульс, переданный поршню упругими ударами с обеих сторон.

1) \(\overline V=F_0/\beta_1\), \(\bar t\sim m/\beta_1\);  2) \(\overline V=\sqrt{F_0/\beta_2}\), \(\bar t\sim m/\sqrt{F_0\beta_2}\);  3) при \(V<u\): \(F=4mnSuV\); при \(V>u\): \(F=2mnS(u^2+V^2)\).

1. Уравнение второго закона Ньютона для движения в вязкой среде имеет в данном случае вид

\[m \frac{\Delta v}{\Delta t} = F_0 - \beta_1 v.\tag{1}\]

Из этого уравнения следует, что ускорение изменяется с течением времени, причем с ростом скорости ускорение уменьшается. При достижении равенства силы сопротивления и силы \(F_0\), ускорение обращается в нуль. Следовательно, скорость установившегося движения \(\overline{V}\) определяется соотношением

\[\overline{V} = \frac{F_0}{\beta_1}.\tag{2}\]

Качественный вид зависимости скорости от времени показан на рисунке.

Для оценки времени достижения установившейся скорости, положим, что тело движется с постоянным ускорением (равным ускорению в начальный момент времени \(a_0 = \frac{F_0}{m}\)) до тех пор, пока скорость не достигнет значения (2):

\[\bar{t} = \frac{\overline{V}}{a_0} = \frac{m}{\beta_1}.\tag{3}\]

Этот способ получения оценки проиллюстрирован на следующем рисунке.

Отметим, что рассматриваемая зависимость точно описывается функцией

\[v = \frac{F_0}{\beta_1} \left( 1 - \exp\left(-\frac{\beta_1}{m} t\right) \right).\]

2. Рассмотрение этой части задачи полностью аналогично предыдущей: - уравнение движения

\[m \frac{\Delta v}{\Delta t} = F_0 - \beta_2 v^2;\tag{4}\]

- скорость установившегося движения

\[\overline{V} = \sqrt{\frac{F_0}{\beta_2}}.\tag{5}\]

- графика зависимости скорости от времени качественно не отличается от рассмотренного ранее; - время достижения установившейся скорости (обратите внимание - в этом случае это время зависит от действующей силы)

\[\overline{t} = \frac{\overline{V}}{a_0} = \frac{m}{\sqrt{F_0 \beta_2}}.\tag{6}\]

Отметим, что в данном зависимость скорости от времени точно описывается функцией

\[v = \sqrt{\frac{F_0}{\beta_2}} \cdot \frac{1 - \exp(-\alpha t)}{1 + \exp(-\alpha t)}, \text{ где } \alpha = 2 \frac{\sqrt{F_0 \beta_2}}{m}.\]

3. Сила сопротивления возникает из-за столкновений поршня с движущимися частицами, которые сообщают поршню импульс. Рассмотрим случай малой скорости поршня \(V < u\). О переднюю грань поршня ударятся частицы, которые движутся навстречу поршню, число этих столкновений за промежуток времени \(\Delta t\) рассчитывается по формуле

\[\nu_+ = \frac{1}{2} n S (V + u) \Delta t.\tag{7}\]

В результате столкновения проекция скорость частицы на направление движения поршня изменяется от \(-u\) до \((u + 2V)\) - это утверждение легко доказать перейдя в систему отсчета, связанную с поршнем. Итак, в результате одного столкновения поршень получит импульс

\[p = m(u + 2V + u) = 2m(u + V).\tag{8}\]

Следовательно, полный импульс, полученный передней гранью поршня, равен

\[P_+ = \nu_+ p = mnS(u + V)^2 \Delta t.\tag{9}\]

Аналогично, можно подсчитать импульс, который получит поршень, от частиц, которые ударяются о заднюю грань поршня (разумеется, это частицы, догоняющие поршень)

\[P_- = mnS(u - V)^2 \Delta t.\tag{10}\]

Таким образом, полный импульс, полученный поршнем равен разности

\[P = P _ { + } - P _ { - } = m n S \Delta t \big ( ( u + V ) ^ { 2 } - ( u - V ) ^ { 2 } \big ) = 4 m n S \Delta t u V \, .\tag{11}\]

Учитывая, что действующая сила равна импульсу, полученному в единицу времени, получим выражение для силы сопротивления

\[F _ { \text{сопр.} } = \frac { P } { \Delta t } = 4 m n S u V \, .\tag{12}\]

Как видно, в рассмотренной модели сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения поршня.

В случае больших скоростей \(V > u\), следует учесть, что передняя грань поршня будет сталкиваться не только с частицами, которые движутся ему навстречу, но и частицами движущимися в том же направлении, что и поршень (который их догоняет). Столкновений же с задней гранью не будет. В остальном же расчет переданного импульса остается прежним и приводит к результату

\[P = P _ { + } + P _ { - } = m n S \Delta t \big ( ( u + V ) ^ { 2 } + ( u - V ) ^ { 2 } \big ) = 2 m n S \Delta t \big ( u ^ { 2 } + V ^ { 2 } \big ) \, .\tag{13}\]

А сила сопротивления в этом случае равна

\[F _ { \text{сопр.} } = 2 m n S \big ( u ^ { 2 } + V ^ { 2 } \big )\tag{14}\]

и зависит от квадрата скорости. Заметим, что молекулы реальных газов имеют различные скорости, поэтому указать для них точную границу между «малой» и «большой» скоростью невозможно.

График зависимости силы сопротивления от скорости представляет собой участок прямой и соприкасающуюся с ней параболу.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.