Задачи › Вязкость, течение вязкой жидкости

Вязкость воздуха

  1. Вязкость воздуха

    ВсОШ 2025/26, 9 кл.
    6/10

    Для поддержания стационарного течения газа в трубе необходимо создавать постоянную разность давлений на её концах. При этом разность сил давления компенсирует силы внутреннего трения между слоями газа. Характеристикой этих сил трения является коэффициент вязкости \(\eta\). При ламинарном течении газа (без завихрений) объёмный расход \(Q\) — объём, протекающий через поперечное сечение цилиндрической трубы в единицу времени — определяется формулой Пуазейля: \[Q = \dfrac{\pi r^4\,\Delta P}{8L\eta},\] где \(r\) — внутренний радиус трубы, \(L\) — её длина, \(\Delta P\) — разность давлений на концах трубы.

    В данной работе требуется определить коэффициент вязкости воздуха при комнатной температуре с помощью установки, схематически изображённой на рисунке.

    Рисунок

    В качестве трубы используется игла шприца, которая соединена через переходник с трубкой ПВХ, закреплённой в пазе длинной деревянной рейки. При движении столбика воды длиной \(l\) вдоль наклонённой под углом \(\alpha\) трубки между его концами возникает разность давлений \(\Delta P\). В стационарном режиме движение происходит с постоянной скоростью \(v\). Составляющая силы тяжести вдоль трубки уравновешивается разностью сил давления воздуха и некоторой силой \(F_0\): \[mg\sin\alpha = \Delta P\,S + F_0,\] где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки ПВХ, \(m\) — масса воды.

    1. Определите площадь \(S\) поперечного сечения трубки ПВХ.

    2. Снимите экспериментальную зависимость скорости движения столбика воды \(v\) от \(\sin\alpha\) для двух его длин: \(45\) мм \(\leqslant l \leqslant 55\) мм и \(75\) мм \(\leqslant l \leqslant 85\) мм. Для каждого значения угла наклона выполните не менее трёх измерений времени движения столбика и определите среднюю скорость. Получите не менее 5 точек зависимости \(v(\sin\alpha)\) для каждой длины \(l\).

    3. Постройте графики зависимостей \(v(\sin\alpha)\) в одних координатных осях.

    4. Используя предложенную модель, получите теоретическую зависимость скорости \(v\) от \(\sin\alpha\), \(r\), \(L\), \(\rho\), \(S\), \(l\), \(\eta\), \(F_0\), \(g\).

    5. По результатам эксперимента определите коэффициент вязкости воздуха \(\eta\).

    6. Оцените величину силы \(F_0\).

    Примечания к работе: соблюдайте осторожность с иглами шприца; игла, которая используется как труба, должна быть без защитного футляра; столбик воды не должен выходить за пределы участка трубки ПВХ, закреплённого на рейке; для остановки столбика вставляйте заглушку в короткий (правый) конец трубки; на линейках делать пометки запрещено. В работе используйте следующие предположения и константы: для малых перепадов давления плотность воздуха считайте постоянной; течение воздуха в игле ламинарное; столбик воды считайте цилиндрическим; силу \(F_0\) считайте постоянной и не зависящей от угла наклона; радиус трубки ПВХ значительно больше радиуса иглы; внутренний радиус и длина иглы шприца \(r = 0{,}17\) мм и \(L = 35\) мм; плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\); \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Оценивать погрешность в этой задаче не требуется.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Столбик движется равномерно, значит сумма сил вдоль трубки равна нулю. Выразите перепад давления через объёмный расход по формуле Пуазейля: расход равен \(vS\). Линейность \(v(\sin\alpha)\) и точка пересечения с осью даст \(\eta\) и \(F_0\).

    Ответ

    1) \(S \approx 11{,}6\) мм\(^2\);  4) \(v = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8L\eta S}\sin\alpha - \dfrac{F_0\pi r^4}{8L\eta S^2}\);  5) \(\eta \approx 9{,}3\cdot 10^{-6}\) Па\(\cdot\)с;  6) \(F_0 \approx 0{,}53\cdot 10^{-3}\) Н.

    Решение

    Столбик воды в трубке можно считать цилиндрическим, поэтому его объём \(V\) и длина \(l\) связаны соотношением \(V = Sl\), откуда \(S = \dfrac{V}{l}\). Экспериментальные данные по объёму и длине столбика приведены в таблице.

    Рисунок

    Используя несколько измерений, усредняем результаты: \(S \approx 11{,}6\) мм\(^2\).

    Для измерения угла наклона выберем на прикреплённой к рейке линейке два деления на известном расстоянии \(b\) (в авторском эксперименте \(b = 250\) мм) друг от друга. Измеряя высоты этих точек над столом \(h_1\) и \(h_2\), получаем \(\sin\alpha = \dfrac{h_2 - h_1}{b}\). Скорость движения столбика определяется по формуле \(v = \dfrac{s}{t}\), где \(s\) — пройденное расстояние столбика, \(t\) — время движения. Для каждого угла наклона производим не менее трёх измерений и вычисляем среднюю скорость \(v_{\text{ср}}\).

    Результаты измерений для столбика длиной \(l = 55\) мм:

    Рисунок

    для \(l = 78\) мм:

    Рисунок

    Построим графики \(v(\sin\alpha)\) для двух разных длин столбика \(l\):

    Рисунок

    Масса столбика воды \(m = \rho l S\). В установившемся режиме выполняется равенство сил вдоль оси трубки: \[\rho l S g\sin\alpha = \Delta P\,S + F_0.\] По условию для малых перепадов давления плотность воздуха считаем постоянной, следовательно объёмный расход воздуха через иглу связан со скоростью движения воды: \(Q = vS\). Согласно формуле Пуазейля: \[\Delta P = \dfrac{8L\eta Q}{\pi r^4} = \dfrac{8L\eta vS}{\pi r^4}.\] Подставляя в уравнение сил: \[\rho l S g\sin\alpha = \dfrac{8L\eta v S^2}{\pi r^4} + F_0.\] Отсюда выражаем скорость: \[v = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8L\eta S}\sin\alpha - \dfrac{F_0\pi r^4}{8L\eta S^2}.\] Видно, что зависимость \(v(\sin\alpha)\) должна быть линейной с угловым коэффициентом \(k = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8L\eta S}\) и пересечением с вертикальной осью \(v_0 = -\dfrac{F_0\pi r^4}{8L\eta S^2}\).

    Из углового коэффициента графика \(\eta = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8LkS}\). Подстановка экспериментальных данных для \(l = 55\) мм даёт \(\eta \approx 9{,}3\cdot 10^{-6}\) Па\(\cdot\)с.

    Из пересечения графика с вертикальной осью \(v_0 \approx -4{,}0\) мм/с: \[F_0 = \dfrac{8L\eta S^2}{\pi r^4}\,|v_0| \approx 0{,}53\cdot 10^{-3}~\text{Н}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх