Кубик на пружине в жидкости

В начальном состоянии пружина не растянута, и вес кубика уравновешен силой Архимеда. После долива условие равновесия содержит силу упругости; объём долитой жидкости связан с изменением уровня и площадью сосуда без кубика.

Обозначим изначальное погружение кубика в жидкость как \(h\). В состоянии равновесия пружина не растянута: \[\rho g S h = mg,\] где \(\rho\) — плотность жидкости, \(S\) — площадь основания кубика, \(m\) — масса кубика.

Объём жидкости в сосуде \(V_0\) выражается через длину пружины в нерастянутом состоянии \(x_0\) и глубину погружения кубика: \[V_0 = h(S_0 - S) + x_0 S_0,\] где \(S_0\) — площадь основания сосуда.

Далее в сосуд наливают известное количество жидкости \(V\). Пружина растягивается на \(\Delta x\), тело погружается в жидкость на \(\Delta h\). В состоянии равновесия \[\rho g S (h + \Delta h) = mg + k\Delta x, \qquad \rho g S \Delta h = k\Delta x.\] Отсюда площадь основания кубика \(S = \dfrac{k\Delta x}{\rho g \Delta h}\).

Новый объём жидкости равен изначальному плюс добавленному: \[V_0' = (h + \Delta h)(S_0 - S) + (x_0 + \Delta x)S_0 = h(S_0 - S) + x_0 S_0 + V.\] Приравнивая, получаем \(\Delta h (S_0 - S) + \Delta x S_0 = V\). Подставляя \(S\), \[\Delta h S_0 - \frac{k\Delta x}{\rho g} + \Delta x S_0 = V, \qquad \Delta h = \frac{V + k\Delta x/(\rho g)}{S_0} - \Delta x.\]