Брусок на границе двух участков с трением

Движение на каждом участке равнозамедленное; скорость на линии раздела найдите по работе силы трения на правом участке. Для второго бруска удобно повторить рассуждение с зеркальным направлением движения.

Рассмотрим движение бруска слева направо. Обозначим его массу \(m\). Сила трения, действующая на брусок на левой части поверхности, равна \(F_\text{л} = \mu_1 g m\), а на правой \(F_\text{п} = \mu_2 g m\). По второму закону Ньютона ускорение бруска слева равно \(a_\text{л} = \mu_1 g\), справа \(a_\text{п} = \mu_2 g\).

Работа силы трения на участке пути справа от линии раздела равна изменению кинетической энергии бруска. Отсюда скорость бруска на линии раздела \[x F_\text{п} = \frac{m v_1^2}{2} \;\Rightarrow\; v_1 = \sqrt{2\mu_2 g x}.\] Время движения бруска до пересечения линии равно \[t_1 = \frac{v - v_1}{a_\text{л}} = \frac{v}{\mu_1 g} - \frac{1}{\mu_1}\sqrt{\frac{2\mu_2 x}{g}},\] а после пересечения \(\tau_1 = \sqrt{\dfrac{2x}{\mu_2 g}}\). Отсюда \(T_1 = t_1 + \tau_1\).

Аналогично рассматривается движение второго бруска справа налево: \[t_2 = \frac{u}{\mu_2 g} - \frac{1}{\mu_2}\sqrt{\frac{2\mu_1 y}{g}}, \qquad \tau_2 = \sqrt{\frac{2y}{\mu_1 g}}, \qquad T_2 = t_2 + \tau_2.\] Используем условие \(\mu_1 T_1 = \mu_2 T_2\): \[0 = \mu_1 T_1 - \mu_2 T_2 = \frac{v - u}{g} + \left(\sqrt{\frac{2x}{\mu_2 g}} + \sqrt{\frac{2y}{\mu_1 g}}\right)(\mu_1 - \mu_2).\] Отсюда \[v - u = (\mu_2 - \mu_1)\sqrt{2g}\left(\sqrt{\frac{x}{\mu_2}} + \sqrt{\frac{y}{\mu_1}}\right) = 1{,}5~\text{м/с}.\]