Три потенциометра в цепи

Вольтметр покажет ноль, когда два делителя напряжения дают одинаковое отношение. Запишите каждый делитель через долю сопротивления, снятую подвижным контактом.

Пусть \(x\) и \(y\) — положения контактов (меняются от \(0\) до \(1\)). Сопротивление первой части \(R_1\) равно \(xR_1\), второй — \((1-x)R_1\); для \(R_2\) и \(R_3\) аналогично: первая часть \(yR_2\), вторая \((1-y)R_2\), первая часть \(R_3\) равна \(yR_3\), вторая \((1-y)R_3\). Система образует два делителя напряжения: первый — из первых частей \(R_1\) и \(R_2\) и второй части \(R_2\), второй — из вторых частей \(R_1\) и \(R_3\) и первой части \(R_3\). Вольтметр покажет ноль, если отношения сопротивлений в плечах этих делителей равны: \[\frac{xR_1 + yR_2}{(1-y)R_2} = \frac{(1-x)R_1 + (1-y)R_3}{yR_3}.\] Сократим номиналы, используя \(R_1 : R_2 : R_3 = 1 : n : k\), где \(n = 3\): \[\frac{x + yn}{(1-y)n} = \frac{(1-x) + (1-y)k}{yk}.\] Отсюда \[k = \frac{(1-x)(1-y)n}{xy + y^2 n - (1-y)^2 n}.\] Подставляя \(x = 0{,}1\), \(y = 0{,}5\) и \(n = 3\), получаем \(k = 27\).