Три сосуда с жидкостями и кранами

Самая плотная жидкость \(\rho_1\) занимает дно трубки, поэтому её слой оказывается под первоначальной жидкостью. Для каждого равновесия запишите равенство давлений на уровне дна соединительной трубки.

По условию жидкость из левого сосуда оказалась в центральном и правом сосудах. Поэтому, когда открыли кран \(k_1\), жидкость перетекла из левого в центральный и образовала у дна слой некоторой толщиной \(a\). Условие равновесия имеет вид (на \(g\) поделили в уме) \[(h_1 - a)\rho_1 = h_2\rho_2 + a\rho_1 \;\Rightarrow\; a = \frac{h_1\rho_1 - h_2\rho_2}{2\rho_1}.\] Закрыли \(k_1\), открыли \(k_2\). По условию из центрального в правый затечёт только жидкость плотностью \(\rho_1\). Условие равновесия имеет вид \[h_2\rho_2 + (a - b)\rho_1 = h_3\rho_3 + b\rho_1 \;\Rightarrow\; b = \frac{a\rho_1 + h_2\rho_2 - h_3\rho_3}{2\rho_1}.\] По условию \(h_1 - a = p(a - b)\) и \(h_1 - a = qb\), откуда \[\begin{cases} 2(h_1\rho_1 + h_2\rho_2) = p(h_1\rho_1 - 3h_2\rho_2 + 2h_3\rho_3),\\ 2(h_1\rho_1 + h_2\rho_2) = q(h_1\rho_1 + h_2\rho_2 - 2h_3\rho_3). \end{cases}\] Подставляя \(h_1 = 14\), \(h_2 = 12\), \(h_3 = 30\) и \(p = 2\), \(q = 4\), получаем \[\begin{cases} 48\rho_2 = 60\rho_3,\\ 14\rho_1 + 12\rho_2 = 120\rho_3. \end{cases}\] Отсюда \(\rho_2/\rho_3 = 5/4\) и \(\rho_1/\rho_2 = 6\), то есть \(\rho_1:\rho_2:\rho_3 = 30:5:4\).