Тень брошенного камня

Подумайте, в какую сторону сначала движется тень: она может уходить назад и потом возвращаться. Максимальное смещение тени соответствует моменту, когда скорость камня параллельна солнечным лучам.

В момент броска тень от камня находится на земле, и в момент падения тоже. Если бы тень всё время находилась между начальной и конечной точками, то пройденный тенью путь равнялся бы дальности полёта камня по горизонтали. При \(\alpha < \beta\) камень по отношению к солнечным лучам сразу начинает смещаться в одну сторону, и тень всегда лежит между точками бросания и падения камня. Поэтому путь, пройденный тенью, равняется дальности полёта камня по горизонтали. Используя формулу для дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту, получаем для пути, пройденного камнем, \[S = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\]

Существенно другой будет ситуация при \(\alpha > \beta\). В этом случае тень сначала начнёт двигаться от точки падения камня на землю, а после того, как скорость камня станет параллельной солнечным лучам, начнёт двигаться в направлении точки падения. Поэтому, если длину этого участка обозначить как \(\Delta x\), то путь, пройденный тенью до падения камня на землю, равен двум длинам \(\Delta x\) плюс дальность полёта камня: \[S = 2\Delta x + \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\] Найдём \(\Delta x\). Выберем систему координат так, что её начало находится в точке бросания камня, ось \(y\) направлена противоположно солнечным лучам, а ось \(x\) перпендикулярно им. Проецируя уравнения движения на ось \(x\), получим \[x(t) = v_0\sin(\alpha-\beta)\,t - \frac{g\cos\beta\,t^2}{2}, \qquad v_x(t) = v_0\sin(\alpha-\beta) - g\cos\beta\,t .\] Максимальному смещению тени влево отвечает ситуация, когда проекция скорости камня на ось \(x\) равна нулю. Из второго уравнения находим время движения камня до этой точки \[t_1 = \frac{v_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos\beta},\] а из первого уравнения — дальность смещения тела по оси \(x\) до этой точки \[l = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta} .\] Отсюда находим \[\Delta x = \frac{l}{\sin\beta} = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta\sin\beta}\] и путь, пройденный тенью, \[S = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{g\cos\beta\sin\beta} + \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\]