Проточный резервуар с горячей водой

Запишите уравнение теплового баланса воды в резервуаре в стационарном режиме: приток тепла с водой равен потерям в комнату, которые пропорциональны разности температур воды в резервуаре и комнаты.

Поскольку в резервуар втекает и вытекает одинаковое количество воды с разной температурой, а температура воды в резервуаре не меняется, есть потери тепла из резервуара. Так как скорость теплообмена пропорциональна разности температур между резервуаром и окружающей средой, уравнение теплового баланса для воды в резервуаре в единицу времени даёт \[c\mu\,(t_1 - t_2) = k\,(t_2 - t_0) ,\] где \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(\mu\) — расход воды (количество воды, втекающее и вытекающее из резервуара в единицу времени), \(t_1\) — температура воды, втекающей в резервуар, \(t_2\) — температура воды в резервуаре (и вытекающей из него), \(t_0\) — температура в комнате, \(k\) — коэффициент пропорциональности между скоростью теплопотерь и разностью температур между резервуаром и комнатой. Поскольку \(k\) зависит от площади резервуара и его теплоизоляции, но не зависит от температуры воды в нём, уравнение теплового баланса для случая, когда наливаем в резервуар воду с температурой \(t_3\), даёт \[c\mu\,(t_3 - t_х) = k\,(t_х - t_0) ,\] где \(t_х\) — искомая температура воды в резервуаре во втором случае. Деля эти уравнения друг на друга, получим \[\frac{t_1 - t_2}{t_3 - t_х} = \frac{t_2 - t_0}{t_х - t_0} .\] Решая это уравнение, найдём \[t_х = t_0 + \frac{(t_3 - t_0)(t_2 - t_0)}{t_1 - t_0} = 60^\circ\text{C} .\]