Невесомый рычаг с телами 3m и m

Рычаг безмассовый, поэтому суммарный момент сил на него равен нулю. Из этого условия найдите связь сил, действующих на тела, а из связи движения концов рычага — связь их ускорений.

На тела действуют силы тяжести и силы реакции рычага, которые в первый момент после отпускания направлены вертикально вверх. Тяжёлое тело \(3m\) находится на коротком плече (длина \(l\)), лёгкое тело \(m\) — на длинном (длина \(2l\)). Поэтому рычаг будет вращаться так, что левое тело опускается, а правое поднимается. Пусть \(N_1\) — сила, с которой рычаг действует на тело \(3m\), \(N_2\) — на тело \(m\). Второй закон Ньютона для тел в проекции на вертикальную ось (вниз для тела \(3m\), вверх для тела \(m\)) даёт \[3m\,a_1 = 3mg - N_1, \qquad m\,a_2 = N_2 - mg ,\] где \(a_1\) и \(a_2\) — модули ускорений тел.

Условие равновесия безмассового рычага, то есть равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на него, даёт \[N_1\,l = N_2\,2l \quad\Rightarrow\quad N_1 = 2N_2 .\] Пусть сразу после отпускания тело \(3m\) опустится на расстояние \(\Delta x\). Тогда тело \(m\) (из-за того, что его плечо в 2 раза больше) поднимется на \(2\Delta x\). Поэтому скорость лёгкого тела в любой момент в 2 раза больше скорости тяжёлого и связь ускорений \[a_2 = 2a_1 .\] С учётом этих условий систему уравнений можно решить: \[a_1 = \frac{g}{7}, \qquad a_2 = \frac{2g}{7}, \qquad N_1 = \frac{18}{7}\,mg, \qquad N_2 = \frac{9}{7}\,mg .\] Силу реакции опоры рычага \(N\) можно найти так: поскольку рычаг безмассовый, сумма сил, действующих на него, равна нулю, поэтому \[N = N_1 + N_2 = \frac{27}{7}\,mg .\]