Задачи › Изопроцессы

Загогулина

  1. Загогулина

    ВсОШ 2023/24, 10 кл.
    6/10

    Изогнутая в трех местах металлическая трубка состоит из четырех прямых параллельных участков: трех — одинаковой длины \(l\) и четвертого, длина которого существенно больше (см. рисунок). Длина изогнутых участков трубки мала по сравнению с \(l\), их объемом можно пренебречь. Площадь внутреннего сечения трубки \(S\), поперечные размеры трубки также много меньше \(l\). Трубка установлена вертикально открытыми концами вверх. В самое длинное колено начинают медленно наливать воду.

    Плотность воды — \(\rho\), атмосферное давление \(p_0\), ускорение свободного падения \(g\). Все процессы в трубке протекают при постоянной температуре. Капиллярными эффектами и влиянием колебаний уровня воды можно пренебречь.

    Рисунок

    1. До какой высоты вода заполнит левое колено трубки к моменту, когда она начнет вытекать из крайнего правого колена? Считайте, что из левого колена вода не вытекает.

    2. Какой объем воды будет находиться в трубке в этот момент?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Когда вода перельётся через верх второго колена и закроет низ между третьим и четвёртым, в третьем колене окажется запертый воздух. Запишите равновесие давлений для пар колен и закон Бойля — Мариотта для этой «пробки».

    Ответ

    1) \(H = l + \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{l_0^2 + 4l_0 l} - l_0\right)\), где \(l_0 = \dfrac{p_0}{\rho g}\);  2) \(V = 4Sl\).

    Решение
    Рисунок

    После заполнения водой второго слева вертикального участка, вода начнет стекать в третье колено, заполнит перемычку внизу между третьим и четвёртым и «отсечёт» воздух в третьем колене от атмосферного. Образуется воздушная «пробка», давление \(p\) внутри которой по мере заполнения четвёртого колена будет возрастать. Запишем условия равновесия (равенства давлений) для первого и второго вертикальных участков трубки: \[p_0 + \rho gH = p + \rho gl. \tag{1}\] Для третьего и четвертого \[p_0 + \rho gl = p + \rho g(l - x).\] Вычитая эти уравнения, получим \[H - l = x.\] Поскольку воздух внутри трубки начал сжиматься от объёма, соответствующего одному вертикальному участку, то по закону Бойля — Мариотта: \[p_0 lS = pxS.\] Из последних двух уравнений находим: \[p = \frac{p_0 l}{H - l}.\] Подставляем это в уравнение (1): \[p_0 + \rho gH = \frac{p_0 l}{H - l} + \rho gl.\] Избавимся от знаменателя в правой части и перегруппируем: \[\rho g(H - l)^2 + p_0(H - l) - p_0 l = 0.\]

    Обозначив для удобства \(p_0/g = l_0\), решаем квадратное уравнение, оставляя только имеющий физический смысл положительный корень: \[H = l + \frac{1}{2}\left(\sqrt{l_0^2 + 4l_0 l} - l_0\right).\]

    Объём налитой воды можно определить по суммарной длине трубы, занятой водой: \[V = S(H + 3l - x) = 4Sl.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх