Барометр Ломоносова

Для измерения небольших изменений ускорения свободного падения \(\delta g\) (обусловленных, например, изменением высоты над уровнем моря или притяжением Луны) Михаил Васильевич Ломоносов предложил создать прибор (универсальный барометр), конструкцию которого описал так: «Возьмём стеклянный шар \(AB\) с толстыми стенками и внутренним диаметром в три дюйма; соединим с ним барометрическую трубку \(BC\) такой длины, чтобы от центра шара до изгиба \(C\) было 28 дюймов; после загиба пусть идёт горизонтальная трубочка \(CP\) длиною в фут или больше со стеклянным шаром \(S\) диаметром в дюйм; просвет в трубочке \(CP\) пусть будет диаметром в \(\dfrac14\) линии». Схема, сопровождавшая описание, приводится ниже.

Предполагалось, что в прибор заливается ртуть так, чтобы при вертикальном положении трубки \(BC\) бóльший шар был заполнен наполовину (при этом над ртутью не оставалось воздуха), а трубка \(PC\) была заполнена до точки \(Q\) (середина \(PC\)). После этого малый шар герметизировался, оба шара размещались в специальных ящиках, заполненных тающим льдом. Ожидалось, что изменение ускорения свободного падения можно будет обнаружить по изменению положения границы столба ртути в горизонтальной трубке, которое фиксировалось линейкой, расположенной рядом с трубкой. Прибор не был изготовлен, вероятно заявка Ломоносова была отклонена.

1. [a)] Пусть расстояние между соседними делениями шкалы линейки составляет 1 линию. Какое минимальное относительное изменение \(\dfrac{\delta g}{g}\) ускорения свободного падения можно было бы обнаружить при помощи универсального барометра?

   1 фут = 12 дюймов, 1 дюйм = 10 линий, 1 дюйм = 2,54 см. Плотность ртути и давление её насыщенных паров при \(0\,^\circ\)С равны \(13{,}6\) г/см\(^3\) и \(0{,}25\) кПа соответственно.

2. [b)] На какой минимальной высоте над уровнем моря можно было бы измерить изменение ускорения свободного падения при помощи описанного прибора с относительной погрешностью не больше, чем 20 %? Считайте, что погрешность определяется только погрешностью считывания линейки, радиус Земли равен 6400 км.