Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Пружинная конструкция

  1. Пружинная конструкция

    «Шаг в будущее» 2023/24, 8 кл.
    4/10

    После проведения в школе фестиваля занимательной физики у преподавателей осталось много абсолютно одинаковых конструкторов. В каждом из них, помимо прочего оборудования, находилось по несколько пружин с одинаковой жёсткостью и длиной. Забавы ради, они решили собрать из этих пружин следующую конструкцию. Одну пружину прикрепили к крюку на потолке, затем к этой пружине была прикреплена доска и к этой доске — уже две параллельные пружины. Таким образом, увеличивая в каждом ряду количество пружин в два раза, добились того, что последним шёл ряд из \(32\) пружин. Его прикрепили к последней доске и стали вертикально растягивать всю конструкцию с некой силой. Определите, на сколько сможет сместиться край растягиваемой конструкции, если весом всех досок и пружин можно пренебречь, а все доски в процессе растяжения оставались строго параллельны друг другу? Известно, что отношение растягивающей силы к жёсткости одной пружины равняется \(\alpha = 32\) см.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ряды пружин соединены последовательно, а пружины внутри ряда — параллельно. Запишите жёсткость каждого ряда через \(k\) и сложите обратные величины жёсткостей рядов.

    Ответ

    \(63\) см.

    Решение

    При параллельном соединении жёсткости складываются, при последовательном складываются обратные величины. Ряд с номером \(i\) содержит \(2^{\,i-1}\) пружин, значит его жёсткость \(k_i = 2^{\,i-1}k\). Для всей конструкции из шести рядов \[\frac{1}{k_{\text{о}}} = \frac{1}{k}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^5}\right).\] По закону Гука \(F = k_{\text{о}}\,L\) и \(\alpha = F/k\), поэтому \[L = \frac{F}{k_{\text{о}}} = \alpha\,\frac{2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1}{2^5} = 32~\text{см}\cdot\frac{63}{32} = 63~\text{см}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх