Омметр как источник с внутренним сопротивлением

Подсказка

Омметр можно представить источником с внутренним сопротивлением, и тогда зависимость напряжения на резисторе от тока линейна. Два омметра параллельно делят ток обратно пропорционально внутренним сопротивлениям.

Ответ

Диапазон 2 кОм: \(\varepsilon=(577{,}6\pm0{,}3)\) мВ, \(r=(2{,}55\pm0{,}01)\) кОм; диапазон 20 кОм: \(\varepsilon=(562{,}1\pm0{,}9)\) мВ, \(r=(11{,}1\pm0{,}1)\) кОм; при двух омметрах \(k_1=k_2=2\) (один диапазон) и \(k_1\approx1{,}23\), \(k_2\approx5{,}35\).

Решение

Часть 1. Изучение работы омметра и измерение его параметров.

1.1 Результаты измерений зависимости напряжения на резисторе о его сопротивления в диапазоне 2 кОм представлены в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

Результаты аналогичных измерений в диапазоне 20 кОм приведены в Таблице 2 и на следующем графике.

Таблица 2.

1.2 Полученные зависимости являются нелинейными. Это означает, что сила тока в цепи и напряжение на резисторе зависят от сопротивления резистора. Полученные зависимости можно объяснить, если предположить, что источник напряжения имеет внутреннее сопротивление, которое сравнимо с измеряемыми сопротивлениями.

Следовательно, электрическую схему для измерения сопротивления можно представить в виде, показанном на рисунке 2. Существенными параметрами данной схемы являются ЭДС источника \(\varepsilon\) и его внутреннее сопротивление \(r\). Если действительно реализована данная схема, то напряжение на резисторе можно рассчитать, используя закон Ома для полной цепи:

\[I = \frac{\varepsilon}{R + r}.\tag{1}\]

Из это формулы следует, что измеряемое напряжение на переменном резисторе определяется формулой

\[U = IR = \varepsilon \frac{R}{R + r}\tag{2}\]

Для определения внутренних параметров омметра удобней всего поступить традиционным образом: построить, так называемую, нагрузочную характеристику источника – зависимость напряжения на внешней цепи от силы тока. Эта зависимость следует из формулы (1):

\[\varepsilon = IR + Ir = U + Ir.\tag{3}\]

Откуда следует

\[U = \varepsilon - Ir\tag{4}\]

Преимущества этой зависимости очевидны: во-первых, эта зависимость линейна, во-вторых, параметры этой зависимости являются необходимыми параметрами источника: коэффициент наклона, взятый с противоположным знаком, равен внутреннему сопротивлению \(r\), а коэффициент сдвига – ЭДС источника. Расчет значений сил токов не представляет сложностей и проводится по формуле

\[I = \frac{U}{R}.\tag{5}\]

Результаты этих расчетов приведены в последнем столбце соответствующих таблиц. Ниже приведены графики зависимостей напряжения на резисторе от силы тока в цепи для двух диапазонов измерения сопротивлений (диапазон 2 кОм и диапазон 20 кОм). Линейность этих зависимостей подтверждает применимость предложенной схемы работы мультиметра в режиме омметра.

Расчет, проведенный по методу наименьших квадратов, дал следующие значения параметров омметра. В диапазоне 2 кОм;

\[\begin{aligned} \varepsilon_2 &= (577{,}6 \pm 0{,}3) \text{ мВ} \\ r_2 &= (2{,}55 \pm 0{,}01) \text{ кОм} \end{aligned}\tag{6}\]

В диапазоне 20 кОм:

\[\begin{aligned} \varepsilon_{20} &= (562{,}1 \pm 0{,}9) \text{ мВ} \\ r_{20} &= (11{,}1 \pm 0{,}1) \text{ кОм} \end{aligned}\tag{7}\]

Часть 2. Измерения двумя омметрами.

2.1 При подключении двух омметров параллельно их показания заметно отличаются от показаний омметров при подключении одного омметра. В таблице 3 приведены показания омметров (в кОм), работающих в диапазоне 2 кОм. Рядом показаны графики зависимости показаний омметров при параллельном подключении от сопротивления резистора (по условию построение этих графиков не требуется).

Таблица 3.

В таблице 4 приведены аналогичные данные, когда один омметр работает в диапазоне 2 кОм, а второй – 20 кОм.

Таблица 4.

2.2 При отдельном подключении каждый омметр показывает сопротивление переменного резистора. Незначительные различия в показания омметров (особенно при работе в разных диапазонах) связаны с приборными погрешностями омметров.

Во всех случаях показания омметров при их параллельном подключении прямо пропорциональны сопротивлению резистора (но отличаются от него). Поэтому эта связь может быть выражена простой формулой:

\[\begin{aligned} & \widetilde{R}_{1}=k_{1} R_{1} \\ & \widetilde{R}_{2}=k_{2} R_{2} \end{aligned}\tag{8}\]

Когда оба резистора работают в одинаковом диапазоне \(2 \text{кОм}\), коэффициенты пропорциональности примерно одинаковы и с достаточно высокой точностью равны 2:

\[k_{1}=k_{2}=2 \text {. }\tag{9}\]

Когда первый резистор работает в диапазоне \(2 \text{кОм}\), а второй - в диапазоне \(20 \text{кОм}\), соответствующие коэффициенты, как следует из таблицы 4, равны:

\[\begin{aligned} & k_{1}=1{,}22 \\ & k_{2}=5{,}55 \end{aligned}\tag{10}\]

Рассмотрим эквивалентную схему при параллельном подключении двух омметров (рис. 3). Разумно предположить, что пересчет сопротивления осуществляется по очевидной формуле (показания омметра равны отношению напряжения на измеряемом участке цепи \(U_{0}\) к силе тока через омметр \(I^{\prime}\)):

\[\widetilde{R}=\frac{U_{0}}{I^{\prime}}\tag{11}\]

По крайней мере, эта формула дает правильные результаты при подключении одного омметра. Для упрощения расчетов воспользуемся подсказкой, и будем считать, что ЭДС обоих омметров одинакова \(\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=\varepsilon\). В этом случае напряжения на внутренних сопротивлениях резисторов равны. Действительно, для каждого из контуров можно записать соотношения:

\[\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=I_{1} r_{1}+I_{0} R \\ \varepsilon=I_{2} r_{2}+I_{0} R \end{array}\right.\tag{11}\]

Из которых следует, что

\[I_{1} r_{1}=I_{2} r_{2}\tag{12}\]

Кроме того, запишем очевидное соотношение для силы тока через переменный резистор

\[I_{0}=I_{1}+I_{2} \text {. }\tag{13}\]

Из уравнений (12)-(13) следуют формулы для сил токов через омметры

\[\begin{aligned} & I_{1}=I_{0} \frac{r_{2}}{r_{1}+r_{2}} \\ & I_{2}=I_{0} \frac{r_{1}}{r_{1}+r_{2}} \end{aligned}\tag{14}\]

Наконец, подставим эти выражения в гипотетическую формулу (11): Для первого омметра

\[\widetilde{R}_{1}=\frac{U_{0}}{I_{1}}=\frac{I_{0} R}{I_{0} \frac{r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}=\frac{r_{1}+r_{2}}{r_{2}} R \text {. }\tag{15}\]

Аналогично для второго омметра

\[\widetilde{R}_{2}=\frac{U_{0}}{I_{2}}=\frac{I_{0} R}{I_{0} \frac{r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}=\frac{r_{1}+r_{2}}{r_{1}} R \text {. }\tag{16}\]

Таким образом, наш вывод показывает, что показания параллельно подключенных омметров пропорциональны сопротивлению резистора и позволяют рассчитать коэффициенты пропорциональности. Если оба омметра работают в одном диапазоне, то \(r_1 = r_2\) и коэффициенты пропорциональности в этом случае равны \(k_1 = k_2 = 2\), что полностью подтверждается результатами измерений. Для расчета коэффициентов пропорциональности во втором случае, когда диапазоны измерений различны, воспользуемся результатами измерений внутренних сопротивлений омметров (6)-(7). Тогда теоретические значения коэффициентов пропорциональности оказываются равными

\[k_1 = \frac{r_1 + r_2}{r_2} = \frac{2{,}55 + 11{,}1}{11{,}1} = 1{,}23\]

\[k_2 = \frac{r_1 + r_2}{r_1} = \frac{2{,}55 + 11{,}1}{2{,}55} = 5{,}35\tag{17}\]

Рассчитанные значения коэффициентов очень близки к экспериментальным, что подтверждает применимость выдвинутой гипотезы о работе омметра. Незначительные отклонения связаны с тем, что ЭДС источников в разных диапазонах немного отличаются.

Часть 3. Изучение полупроводникового диода.

Для выбора схемы измерений можно измерить сопротивление диода, непосредственно подключая его к омметру. Это сопротивление оказывается равным примерно \(3{,}2\) кОм. Очевидно, что сопротивление диода зависит от напряжения, однако порядок величины сохраняется. Это сопротивление сравнимо по порядку величины с внутренним сопротивлением омметра. Для изучения ВАХ в максимально возможном диапазоне сил токов и напряжений необходимо использовать источник с максимальным ЭДС и минимальным внутренним сопротивлением. Этим условиям удовлетворяет схема с использованием двух омметров, соединенным последовательно. Для изменения напряжения следует использовать переменный резистор. Если резистор подключать последовательно с диодом, то сила тока будет мала.

Таким образом, оптимальная схема для измерения ВАХ диода имеет вид, показанный на рис. 4. С помощью такой схемы можно измерить: - сопротивление резистора (при подключении одного и двух резисторах \(R\), \(\widetilde{R}_2\)); - сопротивление параллельно соединенных резистора и диода (при подключении одного и двух резисторах \(R_{\Sigma}\), \(\widetilde{R}_{2\Sigma}\)); Этих данных (с учетом измеренных ранее ЭДС и внутреннего сопротивления омметра) достаточно для расчета напряжения на диоде и силы тока через него. Проведем такой расчет для цепи, показанной на рис. 5. Напряжение на внешней цепи (диоде и переменном резисторе) равно

\[U_D = \frac{\mathcal{E}}{r + R_{\Sigma}} R_{\Sigma}.\tag{18}\]

Сила тока через резистор:

\[I_R = \frac{U_D}{R}.\tag{19}\]

Сила тока через диод:

\[I_D = I - I_R = \frac{U_D}{R_\Sigma} - \frac{U_D}{R} = U_D \left( \frac{1}{R_\Sigma} - \frac{1}{R} \right).\tag{20}\]

При подключении двух омметров, работающих в одном диапазоне, ЭДС остается неизменной, а внутреннее сопротивление уменьшается в два раза. Необходимость проведения измерений с одним омметром обусловлена несколькими причинами: - возможностью измерения сопротивления резистора в максимально возможном диапазоне; - повышением точности измерений при малых силах токов; - возможностью дополнительного измерения ВАХ, что повышает надежность полученных результатов.

В Таблице 5 приведены результаты измерений и расчетов по формулам (18) и (20).

Ниже приведен график полученной зависимости: кружками отмечены значения, рассчитанные по измерениям одним омметром, ромбами – двумя. Видно, что эти результаты частично перекрываются, причем в области перекрытия отлично ложатся на одну кривую. Отметим, что измерения, проведенные при работе в диапазоне 20 кОм, дают результаты, совпадающие с приведенными, но в меньшем диапазоне напряжений.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.